Qual è la misura di ciascun angolo interno di un pentagono regolare?

Considera questo pentagono regolare #ABCDE#.

Uniamoci ai vertici #AC# e #EC# come mostrato al modulo tre triangoli come mostrato. Ho usato le lettere #a, b, c, d, e, f, g, h, i# rappresentare gli angoli interni dei triangoli per semplicità.

Poiché l' la somma degli angoli interni di un triangolo è #180^o#,

In #triangleABC, b+c+d = 180^o#

In #triangleACE, a+e+i = 180^o#

In #triangleECD, h+f+g = 180^o#

La somma degli angoli interni del pentagono è

#a+b+c+d+e+f+g+h+i#
#=(b+c+d)+(a+e+i)+(h+f+g)#
#=180^o + 180^o +1 80^o# [utilizzando i tre risultati precedenti]
#=540^o#

#i.e. angleA+angleB+angleC+angleD+angleE=540^o#
Dal momento che è un ottagono regolare, #angleA=angleB=angleC=angleD=angleE#

#implies angleA+angleA+angleA+angleA+angleA = 540^o#
#implies 5*angleA = 540^o#
#implies angleA=540/5=108^o = angleB=angleC=angleD=angleE#

Quindi l'angolo interno di un pentagono regolare è #108^o#.