Qual è la radice quadrata di 90?

#sqrt(90) = sqrt(3^2*10) = 3sqrt(10)# è un numero irrazionale nel mezzo #sqrt(81)=9# e #sqrt(100) = 10#.

In effetti, da allora #90 = 9 * 10# è nella forma #n(n+1)# ha una regolare espansione continua della forma #[n;bar(2,2n)]#:

#sqrt(90) = [9;bar(2,18)] = 9+1/(2+1/(18+1/(2+1/(18+1/(2+1/(18+...))))))#

Un modo divertente per trovare approssimazioni razionali è usare una sequenza intera definita da una ricorrenza lineare.

Considera l'equazione quadratica con zeri #19+2sqrt(90)# e #19-2sqrt(90)#:

#0 = (x-19-2sqrt(90))(x-19+2sqrt(90))#

#color(white)(0) =(x-19)^2-(2sqrt(90))^2#

#color(white)(0) =x^2-38x+361-360#

#color(white)(0) =x^2-38x+1#

Così:

#x^2 = 38x-1#

Usa questo per derivare una sequenza:

#{ (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_(n+2) = 38a_(n+1)-a_n) :}#

I primi termini di questa sequenza sono:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,...#

Il rapporto tra termini successivi tenderà a #19+2sqrt(90)#

Quindi:

#sqrt(90) ~~ 1/2(2080805/54796-19) = 1/2(1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051#