Qual è la serie taylor di # xe ^ x #?
Risposta:
# xe^x = x + x^2 + x^3/(2!)+x^4/(3!) + x^5/(4!) + ... #
# = sum_(n=0)^oo x^(n+1)/(n!) #
Spiegazione:
Possiamo iniziare con la famosa serie Maclaurin per #e^x#
# e^x = 1 + x + x^2/(2!)+x^3/(3!) + x^4/(4!) + ... #
# = sum_(n=0)^oo x^n/(n!) #
Quindi moltiplicando per #x# si ha:
# xe^x = x{1 + x + x^2/(2!)+x^3/(3!) + x^4/(4!) + ... } #
# = x + x^2 + x^3/(2!)+x^4/(3!) + x^5/(4!) + ... #
# = sum_(n=0)^oo x*x^n/(n!) #
# = sum_(n=0)^oo x^(n+1)/(n!) #