Qual è l'arco di una matrice?

Risposta:

Vedi sotto

Spiegazione:

Un set di vettori si estende su uno spazio se ogni altro vettore nello spazio può essere scritto come una combinazione lineare del set di spanning. Ma per arrivare al significato di questo dobbiamo guardare la matrice come fatta di vettori di colonna.

Ecco un esempio in #mathcal R^2#:

Lascia che la nostra matrice #M = ((1,2),(3,5))#

Questo ha vettori di colonna: #((1),(3))# e #((2),(5))#, che sono linearmente indipendenti, quindi lo è la matrice non singolare cioè invertibile ecc. ecc.

Diciamo che vogliamo dimostrare che il punto generalizzato #(x,y)# rientra nell'intervallo di questi 2 vettori, ovvero in modo che la matrice si estenda su tutto #mathcal R^2#, quindi cerchiamo di risolvere questo:

#alpha ((1),(3)) + beta ((2),(5)) = ((x),(y))#

Oppure:

#((1,2),(3,5)) ((alpha),(beta))= ((x),(y))#

Puoi risolvere questo in un numero qualsiasi di modi, ad esempio ridurre la riga o invertire M ..... per ottenere:

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y#

Quindi diciamo che vogliamo verificarlo #(2,3)# è nel campo di questa matrice, M, applichiamo il risultato che abbiamo appena ottenuto:

#alpha = -4#
#beta = 3#

Doppio controllo:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Prendi in considerazione una matrice diversa: #M' = ((1,2),(2,4))#. Questo è singolare perché i suoi vettori di colonna, #((1),(2))# e #((2),(4))#, sono linearmente dipendenti. Questa matrice si estende solo lungo la direzione #((1),(2))#.

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