Qual è l'integrale di # 1 / (1 + x ^ 2) #?

#color(blue)(int(du)/(1+u^2)=tan^-1u+C##rarr# Dove #u# è una funzione di #x#

#color(red)("Proof:")#

#int(du)/(1+u^2)#

Integrazione mediante sostituzione trigonometrica

#u=tantheta##rarr##du=sec^2thetad(theta)#

#int(du)/(1+u^2)=int(sec^2thetad(theta))/(1+tan^2theta#

#color(green)(sec^2theta=1+tan^2theta#

#int(sec^2thetad(theta))/(1+tan^2theta)=int((cancel(1+tan^2theta))d(theta))/cancel(1+tan^2theta)#

#=intd(theta)=theta#

Invertire la sostituzione

#u=tantheta##color(red)(rarr##theta=tan^-1u#

#therefore int(du)/(1+u^2)=tan^-1u+C#

Sostituendo semplicemente in questa relazione

#int(dx)/(1+x^2)=tan^-1x+C#