Qual è l'integrale di cos ^ 6 (x) ?
Risposta:
Vedi spiegazione
Spiegazione:
Questa sarà una risposta lunga.
Quindi quello che vuoi trovare è:
int cos^6(x)dx
C'è una regola empirica che puoi ricordare: ogni volta che devi integrare un potere uniforme della funzione coseno, devi usare l'identità:
cos^2(x) = (1+cos(2x))/2
Per prima cosa abbiamo diviso i coseni:
int cos^2(x)*cos^2(x)*cos^2(x) dx
Ora possiamo sostituire tutti cos^2(x) con l'identità sopra:
int (1+cos(2x))/2 * (1+cos(2x))/2 * (1+cos(2x))/2 dx
Puoi portare il fattore 1/8 dall'integrale:
1/8 int (1+cos(2x)) * (1+cos(2x)) * (1+cos(2x)) dx
Ora potresti candidarti FOIL due volte, ma preferirei usare Newton Teorema binomiale. Segue questo teorema
(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y+3xy^2+y^3
Appliciamo questo all'integrale.
1/8 int (1+cos(2x))^3dx
=1/8 int 1^3+3*1^2*cos(2x)+3*1*cos^2(2x)+cos^3(2x) dx
=1/8 int 1+3cos(2x)+3cos^2(2x)+cos^3(2x) dx
Ora possiamo già unire un po 'questo integrale:
1/8(int 1dx + 3int cos(2x)dx + 3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)
1/8x+ 3/16sin(2x) + 1/8(3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)
Se hai bisogno di sapere come sono arrivato subito a quel secondo mandato:
int cos(2x)dx
Ogni volta che hai un integrale di base (come cos), ma con un diverso x (ax), puoi semplicemente integrarti normalmente, ma alla fine, moltiplicare per un fattore di 1/a. Qui diventa:
sin(2x)*1/2
Torna al problema: ricorderemo i primi due fattori della soluzione e risolveremo int cos^2(2x)dx e int cos^3(2x)dx separatamente.
int cos^2(2x)dx = int (1 + cos(4x))/2
(usando l'identità. Diventa 4x perché lo raddoppi.)
= 1/2int dx + 1/2int cos(4x)dx
= 1/2x + 1/2sin(4x)*1/4
= 1/2x + 1/8sin(4x)
Il prossimo, int cos^3(2x)dx
Ogni volta che hai uno strano potere di coseni, puoi fare quanto segue:
int cos^2(2x)cos(2x)dx
Ora dovresti usare l'identità sin^2(x)+cos^2(x) = 1
int (1-sin^2(2x))cos(2x)dx
Ora dovresti fare domanda u-sostituzione:
u = sin(2x) <=> du = 2cos(2x)dx <=> 1/2 du = cos(2x)dx
So
1/2int (1-u^2)du
1/2int du - int u^2 du
1/2(u - 1/3u^3)
1/2[sin(2x)-1/3sin^3(2x)]
Ora abbiamo tutte le nostre parti per completare l'integrale. Ricorda che abbiamo avuto:
1/8x+ 3/16sin(2x) + 1/8(3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)
= 1/8x + 3/16sin(2x) + 3/8[(1/2x + 1/8sin(4x)) + 1/8[1/2 * (sin(2x)-1/3sin^3(2x))]
=1/8x + 3/16sin(2x) + 3/16x + 3/64sin(4x) + 1/16sin(2x)-1/48sin^3(2x)
Potresti semplificarlo un po ', il che non è poi così difficile, lo lascerò come una sfida per te: D.
Spero che aiuti. È stato divertente!