Qual è l'integrale di # cos ^ 6 (x) #?

Questa sarà una risposta lunga.

Quindi quello che vuoi trovare è:

#int cos^6(x)dx#

C'è una regola empirica che puoi ricordare: ogni volta che devi integrare un potere uniforme della funzione coseno, devi usare l'identità:

#cos^2(x) = (1+cos(2x))/2#

Per prima cosa abbiamo diviso i coseni:

#int cos^2(x)*cos^2(x)*cos^2(x) dx#

Ora possiamo sostituire tutti #cos^2(x)# con l'identità sopra:

#int (1+cos(2x))/2 * (1+cos(2x))/2 * (1+cos(2x))/2 dx #

Puoi portare il fattore #1/8# dall'integrale:

#1/8 int (1+cos(2x)) * (1+cos(2x)) * (1+cos(2x)) dx #

Ora potresti candidarti FOIL due volte, ma preferirei usare Newton Teorema binomiale. Segue questo teorema

#(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y+3xy^2+y^3#

Appliciamo questo all'integrale.

#1/8 int (1+cos(2x))^3dx #

#=1/8 int 1^3+3*1^2*cos(2x)+3*1*cos^2(2x)+cos^3(2x) dx#

#=1/8 int 1+3cos(2x)+3cos^2(2x)+cos^3(2x) dx#

Ora possiamo già unire un po 'questo integrale:

#1/8(int 1dx + 3int cos(2x)dx + 3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)#

#1/8x+ 3/16sin(2x) + 1/8(3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)#

Se hai bisogno di sapere come sono arrivato subito a quel secondo mandato:
#int cos(2x)dx#

Ogni volta che hai un integrale di base (come cos), ma con un diverso #x# (#ax#), puoi semplicemente integrarti normalmente, ma alla fine, moltiplicare per un fattore di #1/a#. Qui diventa:

#sin(2x)*1/2 #

Torna al problema: ricorderemo i primi due fattori della soluzione e risolveremo #int cos^2(2x)dx# e #int cos^3(2x)dx# separatamente.

#int cos^2(2x)dx = int (1 + cos(4x))/2#

(usando l'identità. Diventa #4x# perché lo raddoppi.)

#= 1/2int dx + 1/2int cos(4x)dx#

#= 1/2x + 1/2sin(4x)*1/4#

#= 1/2x + 1/8sin(4x)#

Il prossimo, #int cos^3(2x)dx#

Ogni volta che hai uno strano potere di coseni, puoi fare quanto segue:

#int cos^2(2x)cos(2x)dx#

Ora dovresti usare l'identità #sin^2(x)+cos^2(x) = 1#

#int (1-sin^2(2x))cos(2x)dx#

Ora dovresti fare domanda #u#-sostituzione:

#u = sin(2x) <=> du = 2cos(2x)dx <=> 1/2 du = cos(2x)dx#

So

#1/2int (1-u^2)du#

#1/2int du - int u^2 du#

#1/2(u - 1/3u^3)#

#1/2[sin(2x)-1/3sin^3(2x)]#

Ora abbiamo tutte le nostre parti per completare l'integrale. Ricorda che abbiamo avuto:

#1/8x+ 3/16sin(2x) + 1/8(3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)#
#= 1/8x + 3/16sin(2x) + 3/8[(1/2x + 1/8sin(4x)) + 1/8[1/2 * (sin(2x)-1/3sin^3(2x))]#

#=1/8x + 3/16sin(2x) + 3/16x + 3/64sin(4x) + 1/16sin(2x)-1/48sin^3(2x)#

Potresti semplificarlo un po ', il che non è poi così difficile, lo lascerò come una sfida per te: D.

Spero che aiuti. È stato divertente!