Qual è l'integrale di #int tan ^ 4x dx #?

Risolvere i trigeneri antiderivativi di solito comporta la scomposizione dell'integrale per applicare le identità pitagoriche, e loro usando a #u#-sostituzione. Questo è esattamente quello che faremo qui.

Inizia riscrivendo #inttan^4xdx# as #inttan^2xtan^2xdx#. Ora possiamo applicare l'identità pitagorica #tan^2x+1=sec^2x#, o #tan^2x=sec^2x-1#:
#inttan^2xtan^2xdx=int(sec^2x-1)tan^2xdx#
Distribuire il #tan^2x#:
#color(white)(XX)=intsec^2xtan^2x-tan^2xdx#
Applicare il somma della regola:
#color(white)(XX)=intsec^2xtan^2xdx-inttan^2xdx#

Valuteremo questi integrali uno per uno.

Primo integrale
Questo è risolto usando a #u#-sostituzione:
lasciare #u=tanx#
#(du)/dx=sec^2x#
#du=sec^2xdx#
Applicando la sostituzione,
#color(white)(XX)intsec^2xtan^2xdx=intu^2du#
#color(white)(XX)=u^3/3+C#
Perché #u=tanx#,
#intsec^2xtan^2xdx=(tan^3x)/3+C#

Secondo integrale
Dal momento che non sappiamo davvero cosa #inttan^2xdx# è semplicemente guardandolo, prova ad applicare il #tan^2=sec^2x-1# identità di nuovo:
#inttan^2xdx=int(sec^2x-1)dx#
Usando la regola di somma, l'integrale si riduce a:
#intsec^2xdx-int1dx#
Il primo di questi, #intsec^2xdx#, è solo #tanx+C#. Il secondo, il cosiddetto "integrale perfetto", è semplicemente #x+C#. Mettendo tutto insieme, possiamo dire:
#inttan^2xdx=tanx+C-x+C#
E perché #C+C# è solo un'altra costante arbitraria, possiamo combinarla in una costante generale #C#:
#inttan^2xdx=tanx-x+C#

Combinando i due risultati, abbiamo:
#inttan^4xdx=intsec^2xtan^2xdx-inttan^2xdx=((tan^3x)/3+C)-(tanx-x+C)=(tan^3x)/3-tanx+x+C#

Ancora una volta, perché #C+C# è una costante, possiamo unirci in uno #C#.