Qual è l'integrale di # x ^ 3 / (x ^ 2 + 1) #?

Noi useremo integrazione per sostituzione, così come gli integrali #int1/xdx = ln|x|+C# e #int1dx = x+C#

#intx^3/(x^2+1)dx = intx^2/(x^2+1)xdx#

#=1/2int((x^2+1)-1)/(x^2+1)2xdx#

lasciare #u = x^2 + 1 => du = 2xdx#. Poi

#1/2int((x^2+1)-1)/(x^2+1)2xdx = 1/2int(u-1)/udu#

#=1/2int(1-1/u)du#

#=1/2(u-ln|u|)+C#

#=(x^2+1)/2-ln(x^2+1)/2+C#

#=x^2/2-ln(x^2+1)/2 + 1/2 + C#

#=(x^2-ln(x^2+1))/2+C#

(Si noti che come #C# è una costante arbitraria, possiamo ignorare il #1/2# come abbiamo fatto nell'ultimo passaggio. L'aggiunta di una costante aggiuntiva non fa alcuna differenza se stiamo già considerando tutte le funzioni di quella forma che variano di una costante.)