Se disegniamo una curva di energia potenziale (U) vs distanza (r) per una massa 'm' nel campo gravitazionale della Terra 'M', allora perché il grafico non esiste per r = 0 a r = R (dove R è il raggio della Terra) ma inizia da r = R a r = infinito?

Funzione potenziale gravitazionale all'interno della Terra.

Si può dimostrare che l'intensità del campo gravitazionale dovuta alla sfera uniforme uniforme al suo interno diminuisce linearmente con #r# e #=0# quando raggiungiamo il centro della sfera. Ciò è dovuto al fatto che la forza di attrazione gravitazionale esiste tra parte della sfera al di sotto del punto di posizione di un'altra massa. Forza tra gli aggregati di shell sferici esterni rimanenti a zero.
La figura seguente mostra l'intensità del campo gravitazionale per entrambe le regioni all'interno e all'esterno della sfera.
#r# è la distanza dal centro della sfera e #a# è il raggio della sfera.

Come tale funzione di campo gravitazionale per valori di distanza#=0# e #a# tra il corpo della massa #m# e la sfera si riduce a

#E=G((4/3pir^3rho)m)/r^2#
Sostituendo il valore della densità #rho# in termini di massa del pianeta #M=4/3pia^3rho#
#E=G(4/3pir^3(M/(4/3pia^3))m)/r^2#
#E=G(Mmr)/a^3#

Usando passi simili a quelli usati nella derivazione sopra, Funzione potenziale gravitazionale per valori di #r< a# all'interno del corpo sferico sarà

#U(r)=-G(m_rm)/r#
#=>U(r)=-G(Mmr^2)/a^3# .......(1)
where #m_r# is mass of smaller sphere of radius #r#.

Funzione potenziale gravitazionale al di fuori della Terra.

Sappiamo che la funzione dell'energia potenziale gravitazionale al di fuori del corpo sferico è data dall'espressione
#U(r)=-G(Mm)/r# ...... (2)
che ha un valore sulla superficie del pianeta
#U(r)=-G(Mm)/a#

Sappiamo che il potenziale gravitazionale di un punto è definito come lavoro fatto su una massa unitaria spostandola in quel punto da #oo# (un punto distante da tutte le altre masse).

Pertanto, il potenziale gravitazionale totale di un corpo di massa #m# può essere trovato dalla somma dell'integrale dell'equazione (1) di #lim r=oo# a #r=a# e integrale dell'equazione (2) di #lim r=a" to "r=r#

Notiamo anche che anche se esiste una potenziale funzione gravitazionale, non esiste alcun significato fisico attribuito al potenziale all'interno della Terra calcolato con l'aiuto dell'equazione (1) in quanto non è fisicamente possibile prendere la massa unitaria all'interno della terra solida, eseguire misurazioni effettive e confrontare risultati. Questo rimane un esercizio teorico.

Pertanto, dal punto pratico non viene tracciato un grafico per valori di distanze inferiori al raggio del pianeta, come mostrato di seguito.

Ai fini dei calcoli della velocità di fuga dalla terra e dei calcoli relativi alle orbite dei satelliti ecc., È necessario solo il potenziale sulla superficie terrestre.