Se # He # (g) ha un'energia cinetica media di 5930 J / mol in determinate condizioni, qual è la velocità quadrata media radice di molecole # N_2 # (g) nelle stesse condizioni?
Bene, cosa c'è in comune? Non i loro gradi di libertà, ma la loro temperatura.
#v_(RMS)("N"_2) = "650.7 m/s"#
L'energia cinetica media di #"N"_2# sarebbe più alto, perché ha più modi di muoversi. Ma la sua velocità RMS è inferiore a causa della sua maggiore massa molare.
L'elio è un atomo, che si traduce in 3 dimensioni con zero gradi di libertà rotazionali e vibrazionali.
Quindi, secondo il teorema di equipartizione,
#<< kappa >> -= K/n = N/2RT#
is the average kinetic energy, where we have that #N = 3# for helium atom's linear degrees of freedom.
A che temperatura è?
#T = 2/3 1/R << kappa >>#
#= 2/3 cdot 1/("8.314 J/mol"cdot"K") cdot "5930 J/mol"#
#=# #"475.5 K"#
Ora, una trappola sarebbe presumere che #N# è lo stesso per #"N"_2#... non è. #"N"_2# è un MOLECULE, che ruota e vibra. Come risulta,
- I gradi di libertà di rotazione non sono trascurabili a temperatura ambiente.
- I gradi di libertà vibrazionali sono trascurabili per le molecole biatomiche a temperatura ambiente.
Quindi, quello che troviamo è quello
#N = N_("trans") + N_("rot") + N_"vib" ~~ 3 + 2#
because diatomic molecules rotate using two angles in spherical coordinates (#theta,phi#).
Fortunatamente, questo non importa perché tutto ciò che vogliamo è il velocità radice-media-quadrata, che dipende solo dalla massa molare e dalla temperatura.
#v_(RMS) = sqrt((3RT)/M)#
where #M# is the molar mass in #"kg/mol"#. Why is that necessary? Why not #"g/mol"#? Well, what are the units of #R#?
#color(blue)(v_(RMS)("N"_2)) = sqrt((3RT)/M)#
#= sqrt((3cdot"8.314 kg"cdot"m"^2"/s"^2//"mol"//"K" cdot "475.5 K")/"0.028014 kg/mol")#
#=# #color(blue)("650.7 m/s")#