Se un irrigatore distribuisce l'acqua secondo uno schema circolare, fornendo acqua a una profondità di e ^ -r e−r piedi all'ora a una distanza di r piedi dall'irrigatore, qual è la quantità totale di acqua fornita all'ora all'interno di un cerchio di raggio 11?
Suo 2 pi - 24 pi e^(-11) (ft^3)/h approx 6.2819 (ft^3)/h2π−24πe−11ft3h≈6.2819ft3h
Abbiamo le informazioni che l'altezza dell'acqua fornita all'ora a una determinata distanza rr is e^(-r)e−r. Il volume di acqua fornito all'ora in una determinata regione è semplicemente l'integrale di questa quantità in questa regione. chiamata z(r)=e^(-r)z(r)=e−r, possiamo vedere che questo problema può essere reinterpretato come il problema di determinare il volume della regione sotto una superficie definita da z(r)z(r) (che rappresenta l'altezza fornita all'ora a una determinata distanza), utilizzando le coordinate polari.
Questo "volume" può essere calcolato dall'integrale:
int_Omega e^(-r) dA = int_0^(R)int_0^(2 pi)e^(-r) r d theta dr,
where Omega è la regione su cui stai integrando, in questo caso, il cerchio del raggio R.
Il termine r appare a causa dell'uso di coordinate polari.
L'integrale in theta è molto facile da risolvere:
int_0^R int_0^(2 pi)e^(-r) r d theta dr = int_0^R r e^(-r) [theta]_0^(2 pi) dr = 2pi int_0^R r e^(-r) dr
L'integrale in r non è neanche troppo difficile, ne abbiamo solo bisogno integrazione per parti.
2pi int_0^R r e^(-r) dr = 2 pi ([-r e^(-r)]_0^R - int_0^R e^(-r) dr) = 2 pi (- R e^(-R) - e^(-r)|_0^R) = 2 pi [1 - e^(-R) (1 + R)]
Nella tua domanda, il cerchio ha raggio 11. Inserendo questo valore nel risultato otteniamo la risposta:
2 pi [1 - e^(-11) (12)] = 2 pi - 24 pi e^(-11) approx 6.2819
che è, come indicato nella tua domanda, in (ft^3)/(h).