Se un irrigatore distribuisce l'acqua secondo uno schema circolare, fornendo acqua a una profondità di # e ^ -r # piedi all'ora a una distanza di r piedi dall'irrigatore, qual è la quantità totale di acqua fornita all'ora all'interno di un cerchio di raggio 11?

Suo #2 pi - 24 pi e^(-11) (ft^3)/h approx 6.2819 (ft^3)/h#

Abbiamo le informazioni che l'altezza dell'acqua fornita all'ora a una determinata distanza #r# is #e^(-r)#. Il volume di acqua fornito all'ora in una determinata regione è semplicemente l'integrale di questa quantità in questa regione. chiamata #z(r)=e^(-r)#, possiamo vedere che questo problema può essere reinterpretato come il problema di determinare il volume della regione sotto una superficie definita da #z(r)# (che rappresenta l'altezza fornita all'ora a una determinata distanza), utilizzando le coordinate polari.

Questo "volume" può essere calcolato dall'integrale:

#int_Omega e^(-r) dA = int_0^(R)int_0^(2 pi)e^(-r) r d theta dr,#

where #Omega# è la regione su cui stai integrando, in questo caso, il cerchio del raggio #R#.

Il termine #r# appare a causa dell'uso di coordinate polari.

L'integrale in #theta# è molto facile da risolvere:

#int_0^R int_0^(2 pi)e^(-r) r d theta dr = int_0^R r e^(-r) [theta]_0^(2 pi) dr = 2pi int_0^R r e^(-r) dr#

L'integrale in #r# non è neanche troppo difficile, ne abbiamo solo bisogno integrazione per parti.

#2pi int_0^R r e^(-r) dr = 2 pi ([-r e^(-r)]_0^R - int_0^R e^(-r) dr) = 2 pi (- R e^(-R) - e^(-r)|_0^R) = 2 pi [1 - e^(-R) (1 + R)]#

Nella tua domanda, il cerchio ha raggio #11#. Inserendo questo valore nel risultato otteniamo la risposta:

#2 pi [1 - e^(-11) (12)] = 2 pi - 24 pi e^(-11) approx 6.2819#

che è, come indicato nella tua domanda, in #(ft^3)/(h)#.