Una scatola con una base quadrata e la parte superiore aperta deve avere un volume di 32,000 cm ^ 3. Come si trovano le dimensioni della scatola che riducono al minimo la quantità di materiale utilizzato?

Il volume di una scatola con una base quadrata #x# by #x# cm e altezza #h# cm è #V=x^2h#

La quantità di materiale utilizzato è direttamente proporzionale alla superficie, quindi ridurremo al minimo la quantità di materiale minimizzando la superficie.

La superficie della scatola descritta è #A=x^2 +4xh#

Abbiamo bisogno di #A# come una funzione di #x# da solo, quindi useremo il fatto che
#V=x^2h = 32,000# cm ^ 3

che ci dà #h = (32,000)/x^2#, quindi l'area diventa:

#A=x^2 +4x((32,000)/x^2) = x^2 +(128,000)/x#

Vogliamo minimizzare #A#, Così

#A' = 2x-(128,000)/x^2 = 0# quando #(2x^3-128,000)/x^2 = 0#

Che si verifica quando #x^3 - 64,000 = 0# or #x=40#

L'unico numero critico è #x=40# cm.

Il secondo test derivato lo verifica #A# ha un minimo a questo numero critico:
#A'' = 2+(256,000)/x^3# che è positivo a #x = 40#.

La scatola dovrebbe avere una base di 40 cm per 40 cm e un'altezza di 20 cm.

(uso #h = (32,000)/x^2# e #x=40#)