I margini superiore e inferiore di un poster sono di 4 cm e i margini laterali di 6 cm ciascuno. Se l'area del materiale stampato sul poster è fissata a 384 centimetri quadrati, come si trovano le dimensioni del poster con l'area più piccola?

Sia a la larghezza del poster e b l'altezza.
Lascia che A sia l'area del poster da ridurre a icona.
(In questa spiegazione ometterò tutti i "cm").
#A=384+2(color(red)(a*4))+2(color(blue)(b*6))-4(color(orange)(6*4))=384+8a+12b-96=288+8a+12b#
Come la somma delle parti illustrate:

#A=a*b#
Quindi prendiamo a in funzione di b:
#288+8a+12b=ab#
#288+12b=ab-8a#
#288+12b=a(b-8)#
#a=(288+12b)/(b-8)#

Adesso, #A(b)# sarà la funzione in una singola variabile (b) che minimizzeremo:
#A(b)=a*b=((288+12b)/(b-8))*b=(288b+12b^2)/(b-8).#

Devo trovare la prima derivata della funzione per minimizzarla:
#A'(b)=12(b^2-16b-192)/(b-8)^2#
I punti minimi soddisfano la condizione #A'(b)=0#, così:
#b^2-16b-192=0#
#b=-8 or b=24#
Ma per ovvi motivi (b è l'altezza di un poster), b deve essere positivo, quindi solo b = 24 è una soluzione corretta.

Ora dobbiamo trovare un:
#a=(288+12b)/(b-8)=(288+12*24)/(24-8)=36#
Quindi, la soluzione al problema è #(a,b)=(24,36)#.