Trova l'intervallo e il raggio di convergenza per le serie di potenze in # 1b?

usa il test del rapporto:

[nota: per la serie #sum_(n=1)^ooa_n#, Se #lim_(nrarroo)abs(a_(n+1)/a_n)#
-è #<1#, serie converge
-è #=1#, inconcludente
-è #>1#, serie divergenti]

se si applica il test del rapporto a questo: #sum_(n=1)^oo(x-5)^n/(n4^n)#, valutare #lim_(nrarroo)abs(((x-5)^(n+1)/((n+1)(4^(n+1))))/((x-5)^(n)/((n)(4^(n))))# mostrerà quali valori x fanno convergere o divergere le serie.

semplificando il limite: #=lim_(nrarroo)abs(((x-5)/((n+1)(4)))/(1/((n)))#
#=lim_(nrarroo)abs((n(x-5))/(4n+4))#

[nota: qui puoi dividere sia il numeratore che il denominatore per #n#, perché per qualunque cosa #n# viene utilizzato il valore, il valore all'interno dei segni di valore assoluto rimarrà lo stesso (dividendo per #n/n# o 1)]

#=lim_(nrarroo)abs(((n(x-5))/n)/((4n)/n+4/n))#
#=abs((x-5)/(4+0))#
#=abs((x-5)/4)#

tornando al test del rapporto, le serie possono convergere solo se #abs((x-5)/4)<1# or #abs((x-5)/4)=1#

Caso 1: #abs(x-5)<4#
#-4<x-5<4#
#1<x<9# (l'intervallo di soluzione deve includere questi valori)

Caso 2: #abs((x-5)/4)=1#
#x-5=-4, x-5=4#
#x=1,9#

if #x=1#, la serie diventa: #sum_(n=1)^oo(1-5)^n/(n4^n)#
#=sum_(n=1)^oo(-4)^n/(n4^n)#
#=sum_(n=1)^oo(-1)^n/(n)#
questa è l'alternanza serie armonica, che converge con il test in serie alternata

if #x=9#, la serie diventa: #sum_(n=1)^oo(9-5)^n/(n4^n)#
#=sum_(n=1)^oo(4)^n/(n4^n)#
#=sum_(n=1)^oo1/n#
questa è la serie armonica, che differisce. qui è una prova

quindi includi #x=1# nell'intervallo anche: #1<=x<9#

il raggio di convergenza è metà della differenza tra i valori superiore e inferiore per l'intervallo #=(9-1)/2=4#

e qui è un video con un problema simile