Come si trova una rappresentazione della serie di potenze per #ln (5-x) # e qual è il raggio di convergenza?
Possiamo iniziare dalle serie di potenze che ti sono state insegnate durante il semestre:
#1/(1-u) = sum_(n=0)^(N) u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + ...#
Ora, lavoriamo da #ln(5-x)# per arrivare a #1/(1-u)#.
#d/(dx)[ln(5-x)] = -1/(5-x) = -1/5*1/(1-x/5)#
Quindi, con #u = x/5#, avevamo appena preso il derivato e poi preso in considerazione #-1/5#. Per ottenere le serie di potenza, dobbiamo lavorare all'indietro.
Lo avevamo fatto:
- Differenziato il nostro obiettivo.
- Factored fuori #-1/5#.
- Sostituito #x/5# for #u#.
Ora, invertiamo ciò che abbiamo fatto, a partire dalla serie di potenza stessa.
- Sostituire #u = x/5#.
- Moltiplicato per #-1/5#.
- Integra il risultato.
Dal #int "function"= int"power series of that function"#, possiamo farcela:
#1/(1-x/5) = 1 + x/5 + x^2/25 + x^3/125 + ...#
#-1/5*1/(1-x/5) = -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...#
#int -1/5*1/(1-x/5)dx = ln(5-x)#
#= int -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...dx#
#= mathbf(C) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...#
Nota come dobbiamo ancora capire la costante #C# perché abbiamo eseguito il indefinito integrante. #C# è il termine per #n = 0#.
Per una serie di potenze regolari derivata da #1/(1-x)#, noi scriviamo
#sum_(n=0)^N (x-0)^n = 1/(1-x)#.
where the power series is centered around #a = 0# since it's really the Maclaurin series (meaning, the Taylor series centered around #a = 0#).
Sappiamo che la costante non deve contenere un #x# termine (perché #x# è una variabile). La costante non può essere #lnx#, quindi la costante #C# is #color(green)(ln(5))#. Quindi otteniamo:
#color(blue)(ln(5-x) = ln(5) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...)#
E infine, per il raggio di convergenza, lo è #|x| < 5# perché #ln(5-x)# approcci #-oo# as #x->5#. Sappiamo che le serie di potenze devono già convergere #ln(5-x)# ovunque la funzione esista perché è stata costruita for la funzione.