Con che velocità aumenta il livello dell'acqua quando l'acqua è profonda 3 cm (nel suo punto più profondo) se l'acqua viene versata in un contenitore conico alla velocità di 10 cm3 / sec. il cono punta direttamente verso il basso e ha un'altezza di 25 cm e un raggio di base di 15 cm?

Dato il tasso di variazione del volume rispetto al tempo è
#(d V) / dt = 10 ##(cub. cm)/(sec)#

Stiamo cercando il tasso di variazione in altezza rispetto al tempo:
#(d h) / dt#

#(d V)/(dt) * ( ? ) = (d h)/(dt)#

L'ovvio sostituto di #( ? )# sembrerebbe essere
#(d h)/(dV)#, il tasso di variazione in altezza rispetto al volume.

Il volume di un cono è dato dalla formula:
#V = (Pi r^2 h)/3#

Il rapporto tra il raggio e l'altezza per il cono dato è
#r/h = 15/25 = 3/5# (vedi diagramma)

or
#r = 3/5 h#

Quindi, per il cono dato:
#V = (Pi * (3/5 h)^2* h)/3 = (3 Pi h^3)/25 (cub. cm)#

Quindi
#(d V)/(dh) = (9 Pi)/(25) h^2 (sq. cm)#

#rarr (d h)/(dV) = (25)/( 9 Pi h^2 (sq. cm))#

#(d h)/(dt)#
#=(d V)/(dt) * (d h)/(dV) = (10 cub. cm)/(sec) * (25)/(9 Pi h^2 (sq. cm))#
#= (250 cm)/(9 Pi h^2 sec)#

a h = 3
#(d h)/(dt)# diventa
#(250)/(9 Pi xx (9)) ((cm)/(sec))#

# = (250/(81 * Pi)) ((cm)/(sec))#