Qual è l'espansione della serie taylor per la funzione tangente (tanx)? Risposta: tan x = x + 1/3x^3 +2/15x^5 + … Spiegazione: La serie Maclaurin è data da f(x) = f(0) + (f'(0))/(1!)x + (f”(0))/(2!)x^2 + (f”'(0))/(3!)x^3 + … (f^((n))(0))/(n!)x^n + … Iniziamo con la funzione f^((0))(x) = f(x) = tanx … Leggi tutto
Come trovi l'integrale di (e ^ x) (cosx) dx ? Risposta: Ho trovato: (e^x(cos(x)+sin(x)))/2+c Spiegazione: Provai Integrazione per parti (due volte) e un piccolo trucco …!
Come trovi la derivata di e ^ sinx ? Risposta: y’=e^sin(x)*cos(x) Spiegazione: Prendendo il logaritmo su entrambi i lati otteniamo ln(y)=sin(x) Differenziazione rispetto a x: 1/y*y’=cos(x) so y’=e^(sin(x))*cos(x)
Come trovi la derivata di 2sinxcosx ? Risposta: d/dx2sinxcosx=2cos2x Spiegazione: 2sinxcosx=sin2x So d/dx2sinxcosx=d/dxsin2x=2cos2x
Cos'è una rappresentazione della serie di potenze per f (x) = ln (1 + x) e qual è il suo raggio di convergenza? Risposta: ln(1+x) = sum_(n=0)^oo (-1)^nx^(n+1)/(n+1) con raggio di convergenza R=1. Spiegazione: Inizia dalla somma del serie geometrica: sum_(n=0)^oo q^n = 1/(1-q) convergendo per abs q < 1. lasciare # x = … Leggi tutto
Trova la lunghezza esatta della curva? Risposta: ”Length” = 59/24 approx 2.4583 Spiegazione: La formula per la lunghezza di una funzione f(x) sull'intervallo (a,b) is color(blue)(int_a^b (sqrt(1 + (f'(x))^2))dx. In questo caso, f(x) = y = 1/3 x^3 + 1/(4x) = 1/3 x^3 + 1/4 x^(-1). Trova la derivata: #f'(x) = x^2 – 1/4 x^(-2) … Leggi tutto
Qual è l'integrale di int [(xe ^ (2x)) / (2x + 1) ^ 2] dx ? Un altro metodo: I=int(xe^(2x))/(2x+1)^2dx Possiamo provarci integrazione per parti con i u=e^(2x) e dv=x/(2x+1)^2dx. Si noti che v=intx/(2x+1)^2dx. lasciando t=2x+1, questo implica che x=1/2(t-1) e che dt=2dx=>dx=1/2dt, Così v=int(1/2(t-1))/t^2 1/2dt=1/4int(1/t-1/t^2)dt=1/4lnabst+1/(4t)… Così, du=2e^(2x)dx. Quindi: I=1/4e^(2x)(lnabs(2x+1)+1/(2x+1))-int2e^(2x)1/4(lnabs(2x+1)+1/(2x+1))dx I=e^(2x)/4lnabs(2x+1)+e^(2x)/(4(2x+1))-1/2inte^(2x)lnabs(2x+1)dx-1/2inte^(2x)/(2x+1)dx Provando IBP sul secondo … Leggi tutto
Come trovi l'integrale di int e ^ (2x) / (4 + e ^ (4x)) ? Vedi la risposta qui sotto:
Come trovi il limite di 1 / (x-1) mentre x si avvicina a 1? Risposta: Vedi la spiegazione Spiegazione: È rilevante per il limite da quale parte ci avviciniamo a un punto specifico; in altre parole, dobbiamo risolvere due limiti: lasciare epsilon in R^+, epsilon->0, Allora: Forma la sinistra: #lim_(x->1-epsilon) 1/(x-1) = lim_(epsilon->0) … Leggi tutto
Qual è la derivata di 2ln (x) ? Il derivato di ln(x) is 1/x. Quindi, mantenendo la costante fuori dalla derivazione (essendo solo un coefficiente) … (dy)/(dx)=2(1/x)=2/x
