Qual è l'espansione della serie taylor per la funzione tangente (tanx)? Risposta: # tan x = x + 1/3x^3 +2/15x^5 + …# Spiegazione: La serie Maclaurin è data da # f(x) = f(0) + (f'(0))/(1!)x + (f”(0))/(2!)x^2 + (f”'(0))/(3!)x^3 + … (f^((n))(0))/(n!)x^n + …# Iniziamo con la funzione # f^((0))(x) = f(x) = tanx # … Leggi tutto
Come trovi l'integrale di # (e ^ x) (cosx) dx #? Risposta: Ho trovato: #(e^x(cos(x)+sin(x)))/2+c# Spiegazione: Provai Integrazione per parti (due volte) e un piccolo trucco …!
Come trovi la derivata di # e ^ sinx #? Risposta: #y’=e^sin(x)*cos(x)# Spiegazione: Prendendo il logaritmo su entrambi i lati otteniamo #ln(y)=sin(x)# Differenziazione rispetto a #x#: #1/y*y’=cos(x)# so #y’=e^(sin(x))*cos(x)#
Come trovi la derivata di # 2sinxcosx #? Risposta: #d/dx2sinxcosx=2cos2x# Spiegazione: #2sinxcosx=sin2x# So #d/dx2sinxcosx=d/dxsin2x=2cos2x#
Cos'è una rappresentazione della serie di potenze per #f (x) = ln (1 + x) # e qual è il suo raggio di convergenza? Risposta: #ln(1+x) = sum_(n=0)^oo (-1)^nx^(n+1)/(n+1)# con raggio di convergenza #R=1#. Spiegazione: Inizia dalla somma del serie geometrica: #sum_(n=0)^oo q^n = 1/(1-q)# convergendo per #abs q < 1#. lasciare # x = … Leggi tutto
Trova la lunghezza esatta della curva? Risposta: #”Length” = 59/24 approx 2.4583# Spiegazione: La formula per la lunghezza di una funzione #f(x)# sull'intervallo #(a,b)# is #color(blue)(int_a^b (sqrt(1 + (f'(x))^2))dx#. In questo caso, #f(x) = y = 1/3 x^3 + 1/(4x) = 1/3 x^3 + 1/4 x^(-1)#. Trova la derivata: #f'(x) = x^2 – 1/4 x^(-2) … Leggi tutto
Qual è l'integrale di #int [(xe ^ (2x)) / (2x + 1) ^ 2] dx #? Un altro metodo: #I=int(xe^(2x))/(2x+1)^2dx# Possiamo provarci integrazione per parti con i #u=e^(2x)# e #dv=x/(2x+1)^2dx#. Si noti che #v=intx/(2x+1)^2dx#. lasciando #t=2x+1#, questo implica che #x=1/2(t-1)# e che #dt=2dx=>dx=1/2dt#, Così #v=int(1/2(t-1))/t^2 1/2dt=1/4int(1/t-1/t^2)dt=1/4lnabst+1/(4t)…# Così, #du=2e^(2x)dx#. Quindi: #I=1/4e^(2x)(lnabs(2x+1)+1/(2x+1))-int2e^(2x)1/4(lnabs(2x+1)+1/(2x+1))dx# #I=e^(2x)/4lnabs(2x+1)+e^(2x)/(4(2x+1))-1/2inte^(2x)lnabs(2x+1)dx-1/2inte^(2x)/(2x+1)dx# Provando IBP sul secondo … Leggi tutto
Come trovi l'integrale di #int e ^ (2x) / (4 + e ^ (4x)) #? Vedi la risposta qui sotto:
Come trovi il limite di # 1 / (x-1) # mentre x si avvicina a 1? Risposta: Vedi la spiegazione Spiegazione: È rilevante per il limite da quale parte ci avviciniamo a un punto specifico; in altre parole, dobbiamo risolvere due limiti: lasciare #epsilon in R^+, epsilon->0#, Allora: Forma la sinistra: #lim_(x->1-epsilon) 1/(x-1) = lim_(epsilon->0) … Leggi tutto
Qual è la derivata di # 2ln (x) #? Il derivato di #ln(x)# is #1/x#. Quindi, mantenendo la costante fuori dalla derivazione (essendo solo un coefficiente) … #(dy)/(dx)=2(1/x)=2/x#
