Calcolo – Pagina 83

Qual è la seconda derivata di $y = ln x$ $y = lnx$ ?

Dicembre 20, 2019

Qual è la seconda derivata di $y = ln x$ $y = lnx$ ? Risposta: $\frac{d^{2} y}{{d x}^{2}} = - \frac{1}{x^{2}}$ $(d^2y)/(dx^2) = -1/x^2$ Spiegazione: $y = ln x$ $y = lnx$ Differenziando wrt x otteniamo la prima derivata: $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ $dy/dx = 1/x$ ( $\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}$ $d/dxlnx=1/x$ è un risultato standard che dovrebbe essere appreso) Riscrivendo usando gli indici abbiamo: $\frac{d y}{d x} = x^{- 1}$ $dy/dx = x^-1$ Differenziando … Leggi tutto

Qual è una soluzione all’equazione differenziale $\frac{d y}{d x} = x y$ $dy / dx = xy$ ?

Dicembre 20, 2019

di Ondrea

Qual è una soluzione all'equazione differenziale $\frac{d y}{d x} = x y$ $dy / dx = xy$ ? Risposta: $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ $y = x – 1 + C/e^x$ Spiegazione: $\frac{d y}{d x} = x - y$ $dy/dx=x-y$ non separabile, non esatto, quindi impostalo per un fattore di integrazione $\frac{d y}{d x} + y = x$ $dy/dx + y =x$ l'IF è $e^{\int d x} = e^{x}$ $e^(int dx) = e^x$ so $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = x e^{x}$ $e^x dy/dx + e^x y =xe^x$ or #d/dx (e^x … Leggi tutto

Qual è la derivata di $sin (a x)$ $sin (ax)$ ?

Dicembre 20, 2019

di Rahal

Qual è la derivata di $sin (a x)$ $sin (ax)$ ? Risposta: $a cos (a x)$ $acos(ax)$ Spiegazione: Sappiamo che $\frac{d}{d x} (sin (x)) = cos (x)$ $d/dx(sin(x))=cos(x)$ e $\frac{d}{d x} (f (g (x)) = f' (g (x)) \cdot g' (x)$ $d/dx(f(g(x))=f'(g(x))*g'(x)$ (la regola della catena). Usa queste due regole ora, con $f (x) = sin (x)$ $f(x)=sin(x)$ e $g (x) = a x$ $g(x)=a x$ (dove $a$ $a$ è una costante).

Qual è la derivata di $ln (cos x)$ $ln (cosx)$ ?

Dicembre 20, 2019

di Claudie

Qual è la derivata di $ln (cos x)$ $ln (cosx)$ ? Risposta: $- tan x$ $-tanx$ Spiegazione: Regola: $\frac{d}{d x} ln u (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $d/dxlnu(x)=1/u*(du)/dx$ $∴ \frac{d}{d x} ln (cos x) = \frac{1}{cos x} \cdot \frac{d}{d x} cos x$ $therefore d/dx ln(cosx)=1/cosx*d/(dx)cosx$ $= \frac{1}{cos x} \cdot - sin x$ $=1/cosx*-sinx$ $= - \frac{sin x}{cos x}$ $=-sinx/cosx$ $= - tan x$ $=-tanx$

Come trovate le serie di potenze per una funzione centrata su $c$ $c$ ?

Dicembre 20, 2019

di Tova

Come trovate le serie di potenze per una funzione centrata su $c$ $c$ ? Serie Taylor incentrata su c f(x)=sum_{n=0}^infty {f^{(n)}(c)}/{n!}(x-c)^n# Spero che questo sia stato utile.

Come trovate le derivate di $y = x^{2 x}$ $y = x ^ (2x)$ mediante differenziazione logaritmica?

Dicembre 20, 2019

di Alysia

Come trovate le derivate di $y = x^{2 x}$ $y = x ^ (2x)$ mediante differenziazione logaritmica? Risposta: La risposta è $= 2 (1 + ln x) x^{2 x}$ $=2(1+lnx)x^(2x)$ Spiegazione: Abbiamo bisogno di $(u v) ’ = u ’ v + u v ’$ $(uv)’=u’v+uv’$ $y = x^{2 x}$ $y=x^(2x)$ $ln y = ln (x^{2 x})$ $lny=ln(x^(2x))$ $ln y = 2 x ln x$ $lny=2xlnx$ Wrt differenziante $x$ $x$ $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot ln x)$ $1/ydy/dx=2(x*1/x+1*lnx)$ $\frac{d y}{d x} = 2 (1 + ln x) y$ $dy/dx=2(1+lnx)y$ $\frac{d y}{d x} = 2 (1 + ln x) x^{2 x}$ $dy/dx=2(1+lnx)x^(2x)$

Come si trova la pendenza di una linea tangente rispetto alla curva $y = x - x^{5}$ $y = x – x ^ 5$ nel punto (1, 0)?

Dicembre 20, 2019

di Goldi

Come si trova la pendenza di una linea tangente rispetto alla curva $y = x - x^{5}$ $y = x – x ^ 5$ nel punto (1, 0)? La pendenza del linea tangente a una curva in un punto è la prima derivata in quel punto, quindi: $y ’ = 1 - 5 x^{4}$ $y’=1-5x^4$ e: $m = y' (1) = 1 - 5 \cdot 1 = - 4$ $m=y'(1)=1-5*1=-4$ .

Come valuta l’integrale $\int \frac{{sec}^{3} x}{tan x}$ $int sec ^ 3x / tanx$ ?

Dicembre 20, 2019

di Dorris

Come valuta l'integrale $\int \frac{{sec}^{3} x}{tan x}$ $int sec ^ 3x / tanx$ ? Risposta: $\frac{1}{2} ln ∣ ∣ ∣ \frac{cos x - 1}{cos x + 1} ∣ ∣ ∣ + sec x + C, or, ln ∣ ∣ tan (\frac{x}{2}) ∣ ∣ + sec x + C$ $1/2ln|(cosx-1)/(cosx+1)|+secx+C, or, ln|tan(x/2)|+secx+C$ . Spiegazione: lasciare $I = \int \frac{{sec}^{3} x}{tan x} d x = \int (\frac{1}{{cos}^{3} x}) (\frac{cos x}{sin x}) d x$ $I=intsec^3x/tanxdx=int(1/cos^3x)(cosx/sinx)dx$ $= \int \frac{1}{{cos}^{2} x sin x} d x = \int \frac{sin x}{{cos}^{2} x {sin}^{2} x} d x$ $=int1/(cos^2xsinx)dx=intsinx/(cos^2xsin^2x)dx$ $∴ I = - \int {\frac{- sin x}{{cos}^{2} x (1 - {cos}^{2} x)} d x$ $:. I=-int{(-sinx)/{cos^2x(1-cos^2x)}dx$ sostituendo $cos x = t, ” s o t ˆ, “ - sin x d x = d t$ $cosx=t,” so that, “-sinxdx=dt$ , noi abbiamo, $I = \int \frac{1}{t^{2} (t^{2} - 1)} d t = \int \frac{t^{2} - (t^{2} - 1)}{t^{2} (t^{2} - 1)} d t$ $I=int1/{t^2(t^2-1)}dt=int{t^2-(t^2-1)}/{t^2(t^2-1)}dt$ $= \int [\frac{t^{2}}{t^{2} (t^{2} - 1)} - \frac{t^{2} - 1}{t^{2} (t^{2} - 1)}] d t$ $=int[t^2/{t^2(t^2-1)}-(t^2-1)/{t^2(t^2-1)}]dt$ $= \int [\frac{1}{t^{2} - 1} - \frac{1}{t^{2}}] d t$ $=int[1/(t^2-1)-1/t^2]dt$ $\frac{1}{2} ln ∣ ∣ ∣ \frac{t - 1}{t + 1} ∣ ∣ ∣ + \frac{1}{t}$ $1/2ln|(t-1)/(t+1)|+1/t$ . Da, $t = cos x$ $t=cosx$ , noi abbiamo, $I = \frac{1}{2} ln ∣ ∣ ∣ \frac{cos x - 1}{cos x + 1} ∣ ∣ ∣ + sec x + C$ $I=1/2ln|(cosx-1)/(cosx+1)|+secx+C$ . Buona matematica! NB: - $I$ $I$ può essere ulteriormente semplificato come $ln ∣ ∣ tan (\frac{x}{2}) ∣ ∣ + sec x + C$ $ln|tan(x/2)|+secx+C$ .

Qual è l’integrale di $\int arctan (x) d x$ $int arctan (x) dx$ ?

Dicembre 20, 2019

di Norma

Qual è l'integrale di $\int arctan (x) d x$ $int arctan (x) dx$ ? Risposta: $x arctan x - \frac{ln (x^{2} + 1)}{2} + C$ $xarctanx-ln(x^2+1)/2+C$ Spiegazione: Problema: $\int arctan x$ $intarctanx$ Integrare per parti: $\int f g' = f g - \int f' g$ $intfgprime=fg-intfprimeg$ $f = arctan x, g' = 1$ $f=arctanx,gprime=1$ $↓$ $darr$ $f' = \frac{1}{x^{2} + 1}, g = x :$ $fprime=1/(x^2+1),g=x:$ = $x arctan x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ $xarctanx-intx/(x^2+1)dx$ Ora risolvendo: $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ $intx/(x^2+1)dx$ Sostituire $u = x^{2} + 1 \to d x = \frac{1}{2 x} d u$ $u=x^2+1->dx=1/(2x)du$ $= \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}$ $=1/2int1/u$ du Ora risolvendo: $\int \frac{1}{u} d u$ $int1/u du$ Questo è un integrale standard = $ln u$ $lnu$ Inserire integrali risolti: $\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$ $1/2int1/udu$ = $\frac{ln u}{2}$ $lnu/2$ Annulla la sostituzione $u = x^{2} + 1$ $u=x^2+1$ : = $\frac{ln (x^{2} + 1)}{2}$ $ln(x^2+1)/2$ Inserire integrali risolti: = $x arctan x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ $xarctanx-intx/(x^2+1)dx$ = $x arctan x - \frac{ln (x^{2} + 1)}{2}$ $xarctanx-ln(x^2+1)/2$ Il problema è … Leggi tutto

Come trovi l’integrale di ${sin}^{2} (a x)$ $sin ^ 2 (ax)$ ?

Dicembre 20, 2019

di Carleen

Come trovi l'integrale di ${sin}^{2} (a x)$ $sin ^ 2 (ax)$ ? Risposta: $\int {sin}^{2} (a x) d x = \frac{a x - sin (a x) cos (a x)}{2 a} + C$ $int sin^2(ax) dx= ( ax-sin(ax)cos(ax) )/(2a)+C$ Spiegazione: Usa l'identità trigonometrica: ${sin}^{2} (a x) = \frac{1 - cos (2 a x)}{2}$ $sin^2(ax) = (1-cos(2ax))/2$ Così: $\int {sin}^{2} (a x) d x = \int \frac{1 - cos (2 a x)}{2} d x$ $int sin^2(ax) dx= int (1-cos(2ax))/2dx$ $\int {sin}^{2} (a x) d x = \frac{1}{2} \int d x - \frac{1}{2} \int cos (2 a x) d x$ $int sin^2(ax) dx= 1/2 int dx -1/2 int cos(2ax)dx$ $\int {sin}^{2} (a x) d x = \frac{x}{2} - \frac{1}{4 a} \int cos (2 a x) d (2 a x)$ $int sin^2(ax) dx= x/2 -1/(4a) int cos(2ax)d(2ax)$ $\int {sin}^{2} (a x) d x = \frac{x}{2} - \frac{1}{4 a} sin (2 a x) + C$ $int sin^2(ax) dx= x/2 -1/(4a)sin(2ax) +C$ #int sin^2(ax) dx= … Leggi tutto