Qual è la seconda derivata di # y = lnx #? Risposta: # (d^2y)/(dx^2) = -1/x^2 # Spiegazione: # y = lnx # Differenziando wrt x otteniamo la prima derivata: # dy/dx = 1/x # (#d/dxlnx=1/x# è un risultato standard che dovrebbe essere appreso) Riscrivendo usando gli indici abbiamo: # dy/dx = x^-1 # Differenziando … Leggi tutto
Qual è una soluzione all'equazione differenziale # dy / dx = xy #? Risposta: # y = x – 1 + C/e^x# Spiegazione: #dy/dx=x-y# non separabile, non esatto, quindi impostalo per un fattore di integrazione #dy/dx + y =x# l'IF è #e^(int dx) = e^x# so #e^x dy/dx + e^x y =xe^x# or #d/dx (e^x … Leggi tutto
Qual è la derivata di #sin (ax) #? Risposta: #acos(ax)# Spiegazione: Sappiamo che #d/dx(sin(x))=cos(x)# e #d/dx(f(g(x))=f'(g(x))*g'(x)# (la regola della catena). Usa queste due regole ora, con #f(x)=sin(x)# e #g(x)=a x# (dove #a# è una costante).
Qual è la derivata di # ln (cosx) #? Risposta: #-tanx# Spiegazione: Regola: #d/dxlnu(x)=1/u*(du)/dx# #therefore d/dx ln(cosx)=1/cosx*d/(dx)cosx# #=1/cosx*-sinx# #=-sinx/cosx# #=-tanx#
Come trovate le serie di potenze per una funzione centrata su # c #? Serie Taylor incentrata su c # #f(x)=sum_{n=0}^infty {f^{(n)}(c)}/{n!}(x-c)^n# Spero che questo sia stato utile.
Come trovate le derivate di # y = x ^ (2x) # mediante differenziazione logaritmica? Risposta: La risposta è #=2(1+lnx)x^(2x)# Spiegazione: Abbiamo bisogno di #(uv)’=u’v+uv’# #y=x^(2x)# #lny=ln(x^(2x))# #lny=2xlnx# Wrt differenziante #x# #1/ydy/dx=2(x*1/x+1*lnx)# #dy/dx=2(1+lnx)y# #dy/dx=2(1+lnx)x^(2x)#
Come si trova la pendenza di una linea tangente rispetto alla curva #y = x – x ^ 5 # nel punto (1, 0)? La pendenza del linea tangente a una curva in un punto è la prima derivata in quel punto, quindi: #y’=1-5x^4# e: #m=y'(1)=1-5*1=-4#.
Come valuta l'integrale #int sec ^ 3x / tanx #? Risposta: #1/2ln|(cosx-1)/(cosx+1)|+secx+C, or, ln|tan(x/2)|+secx+C#. Spiegazione: lasciare #I=intsec^3x/tanxdx=int(1/cos^3x)(cosx/sinx)dx# #=int1/(cos^2xsinx)dx=intsinx/(cos^2xsin^2x)dx# #:. I=-int{(-sinx)/{cos^2x(1-cos^2x)}dx# sostituendo #cosx=t,” so that, “-sinxdx=dt#, noi abbiamo, #I=int1/{t^2(t^2-1)}dt=int{t^2-(t^2-1)}/{t^2(t^2-1)}dt# #=int[t^2/{t^2(t^2-1)}-(t^2-1)/{t^2(t^2-1)}]dt# #=int[1/(t^2-1)-1/t^2]dt# #1/2ln|(t-1)/(t+1)|+1/t#. Da, #t=cosx#, noi abbiamo, #I=1/2ln|(cosx-1)/(cosx+1)|+secx+C#. Buona matematica! NB: -#I# può essere ulteriormente semplificato come #ln|tan(x/2)|+secx+C#.
Qual è l'integrale di #int arctan (x) dx #? Risposta: #xarctanx-ln(x^2+1)/2+C# Spiegazione: Problema:#intarctanx# Integrare per parti: #intfgprime=fg-intfprimeg# #f=arctanx,gprime=1# #darr# #fprime=1/(x^2+1),g=x:# =#xarctanx-intx/(x^2+1)dx# Ora risolvendo: #intx/(x^2+1)dx# Sostituire #u=x^2+1->dx=1/(2x)du# #=1/2int1/u#du Ora risolvendo: #int1/u du# Questo è un integrale standard =#lnu# Inserire integrali risolti: #1/2int1/udu# =#lnu/2# Annulla la sostituzione #u=x^2+1#: =#ln(x^2+1)/2# Inserire integrali risolti: =#xarctanx-intx/(x^2+1)dx# =#xarctanx-ln(x^2+1)/2# Il problema è … Leggi tutto
Come trovi l'integrale di # sin ^ 2 (ax) #? Risposta: #int sin^2(ax) dx= ( ax-sin(ax)cos(ax) )/(2a)+C# Spiegazione: Usa l'identità trigonometrica: #sin^2(ax) = (1-cos(2ax))/2# Così: #int sin^2(ax) dx= int (1-cos(2ax))/2dx# #int sin^2(ax) dx= 1/2 int dx -1/2 int cos(2ax)dx# #int sin^2(ax) dx= x/2 -1/(4a) int cos(2ax)d(2ax)# #int sin^2(ax) dx= x/2 -1/(4a)sin(2ax) +C# #int sin^2(ax) dx= … Leggi tutto
