Qual è l'integrale di #int arctan (x) dx #?
Risposta:
#xarctanx-ln(x^2+1)/2+C#
Spiegazione:
Problema:#intarctanx#
Integrare per parti: #intfgprime=fg-intfprimeg#
#f=arctanx,gprime=1#
#darr#
#fprime=1/(x^2+1),g=x:#
=#xarctanx-intx/(x^2+1)dx#
Ora risolvendo:
#intx/(x^2+1)dx#
Sostituire #u=x^2+1->dx=1/(2x)du#
#=1/2int1/u#du
Ora risolvendo:
#int1/u du#
Questo è un integrale standard
=#lnu#
Inserire integrali risolti:
#1/2int1/udu#
=#lnu/2#
Annulla la sostituzione #u=x^2+1#:
=#ln(x^2+1)/2#
Inserire integrali risolti:
=#xarctanx-intx/(x^2+1)dx#
=#xarctanx-ln(x^2+1)/2#
Il problema è risolto:
#intarctanx#
=#xarctanx-ln(x^2+1)/2+C#