Che cos'è int_1 ^ oo sinx / x ^ 2 dx ?
Risposta:
int_1^oo sin(x)/x^2 dx=sin(1)-Ci(1)~~0.504
Spiegazione:
Per elaborare l'antiderivativo, applicheremo integrazione per parti con i f=sin(x) e g'=x^-2
Questo rende il nostro integrale:
-sin(x)/x-int-cos(x)/x dx=-sin(x)/x+int cos(x)/x dx
Sulla destra abbiamo un integrale speciale, il Coseno Integrale. Di solito è indicato con Ci(x). Ciò significa che la risposta all'integrale è:
Ci(x)-sin(x)/x+C
Ora possiamo collegare i nostri limiti di integrazione per ottenere:
int_1^oosin(x)/x^2=lim_(x->oo)(Ci(x)-sin(x)/x)-(Ci(1)-sin(1))
Perché il Ci(x) la funzione è il risultato di un'integrazione, avrà delle costanti. Che cosa sia questa costante non importa, perché nella maggior parte delle applicazioni la annullerai poiché ne sottrarrai due Ci(x) valori (dovuti al Teorema fondamentale del calcolo).
Quando si calcola il Ci(x) funzione, devi scegliere un valore per questa costante (puoi scegliere quello che ti piace per comodità, poiché si annullerà). Potresti aspettarti che la scelta sia 0, ma è stato deciso che questa costante dovrebbe essere gamma (tramite la Costante di Eulero Mascheroni). Questo è così che:
lim_(x->oo)Ci(x)=0
Ciò significa che possiamo valutare il limite nella nostra espressione (mi aspetto che tu sia in grado di valutare il limite sinusoidale da solo):
lim_(x->oo)(Ci(x)-sin(x)/x)=0
Quindi, siamo rimasti con:
-(Ci(1)-sin(1))=sin(1)-Ci(1)
Potresti semplicemente attaccare il Ci(1) valore in qualcosa come Wolfram Alpha per ottenere una risposta, ma solo per divertimento, guardiamo come si potrebbe arrivare al valore.
Il modo più semplice per approssimarsi Ci(1) sta probabilmente usando una serie di Maclaurin. Lo sappiamo:
Ci(x)=int cos(x)/x dx
La tecnica classica qui è di elaborare una serie per cos(x)/x e quindi integrarlo.
Conosciamo la serie Maclaurin per il coseno, quindi possiamo semplicemente dividere tutti i termini per x:
cos(x)/x=1/xsum_(n=0)^oo(-1)^nx^(2n)/((2n)!)=sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(2n-1)/((2n)!)=
=1/x-x/(2!)+x^3/(4!)-x^5/(6!)...
Per integrare ora questo, possiamo trattare il primo valore appositamente (poiché avrà un integrale di ln(x)) e possiamo usare il contrario regola del potere per il resto:
int sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(2n-1)/((2n)!) dx=C+ln(x)+sum_(n=1)^oo(-1)^nx^(2n)/(2n(2n)!)
C è la costante dell'integrazione e in precedenza lo avevamo scelto gamma, quindi dobbiamo fare lo stesso qui (altrimenti non si cancellerebbero):
Ci(x)=gamma+ln(x)+sum_(n=1)^oo(-1)^nx^(2n)/(2n(2n)!)
Ora possiamo usare questa formula per valutare Ci(1). Ho scritto a piccolo programma Java per valutare le serie fino a 15 termini e ottenere un valore di:
Ci(1)~~0.3374039
Ora sottraggiamo questo da sin(1) per ottenere all'incirca:
sin(1)-Ci(1)~~0.504