Come dimostrate # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #?

Considera un triangolo ad angolo retto con un angolo interno #theta#:

Quindi:

#sin theta = a/c#

#cos theta = b/c#

Così:

#sin^2 theta + cos^2 theta = a^2/c^2+b^2/c^2 = (a^2+b^2)/c^2#

Di Pitagora #a^2+b^2 = c^2#, Così #(a^2+b^2)/c^2 = 1#

Così dato Pitagora, ciò dimostra l'identità di #theta in (0, pi/2)#

Per angoli al di fuori di tale intervallo possiamo usare:

#sin (theta + pi) = -sin (theta)#

#cos (theta + pi) = -cos (theta)#

#sin (- theta) = - sin(theta)#

#cos (- theta) = cos(theta)#

Quindi per esempio:

#sin^2 (theta + pi) + cos^2 (theta + pi) = (-sin theta)^2 + (-cos theta)^2 = sin^2 theta + cos^2 theta = 1#

#color(white)()#
teorema di Pitagora

Dato un triangolo ad angolo retto con i lati #a#, #b# e #c# considerare il seguente diagramma:

L'area della grande piazza è #(a+b)^2#

L'area del piccolo quadrato inclinato è #c^2#

L'area di ogni triangolo è #1/2ab#

Quindi abbiamo:

#(a+b)^2 = c^2 + 4 * 1/2ab#

Cioè:

#a^2+2ab+b^2 = c^2+2ab#

Sottrarre #2ab# da entrambi i lati per ottenere:

#a^2+b^2 = c^2#