Come scrivi la serie di Taylor per #f (x) = coshx #?

La serie Taylor di una funzione è definita come:

#sum_(n=0)^oof^n(x_0)/(n!)(x-x_0)^n#

Dove il #n# solo #f^n(x_0)# indica il #n#derivato di #f(x)# e non un potere.

Se volessimo trovare, ad esempio, la serie di taylor di #cosh(x)# in giro #x=0# poi abbiamo impostato #x_0=0# e usa la definizione sopra. È meglio disporre due colonne, una con la derivata e l'altra che valuta il valore di #f^n(x_0)# al punto desideriamo espanderci.

• #f(x) = cosh(x)# #f(0) =1#
• #f'(x) = sinh(x)# #f'(0)=0#
• #f''(x) = cosh(x)# #f''(0)=1#
• #f'''(x) = sinh(x)# #f'''(0)=0#
• #f^(IV)(x)=cosh(x)# #f^(IV)(0)=1#
• #f^(V)(x) = sinh(x)# #f^(V)(0)=0#
• #f^(VI)(x)=cosh(x)# #f^(VI)(0) = 1#

Potremmo continuare queste colonne indefinitamente ma dovremmo ottenere una buona approssimazione qui.

Ora abbiamo i nostri valori per #f^n(0)# quindi tutto ciò che rimane è metterli nella somma sopra e otteniamo:

#1/(0!)(x-0)^0+0/(1!)(x-0)^1+1/(2!)(x-0)^2+0/(3!)(x-0)^3+1/(4!)(x-0)^4+0/(5!)(x-0)^5+1/(6!)(x-0)^6+...#

Semplificare questa serie ci dà:

#1+x^2/2+x^4/24+x^6/720+...#

E quindi abbiamo i primi quattro termini diversi da zero per #cosh(x)#, (ma ricorda che la serie continua all'infinito). Questo ci darà una buona approssimazione per i valori di #cosh(x)# vicino #0#. Se hai bisogno di maggiore precisione, devi trovare più derivati ​​e continuare a costruire la serie.

Inoltre, se si desidera espandere la serie attorno a un valore di #x_0# che non è 0, quindi non sarà pulito come questo.