Come trovi le serie di Taylor per #ln (x) # sul valore x = 1?

in primo luogo guardiamo la formula per la serie Taylor, che è:

#f(x) = sum_(n=0)^oo f^((n))(a)/(n!)(x-a)^n #

che equivale a:

#f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)(x-a)^2)/(2!) + (f'''(a)(x-a)^3)/(3!) + ... #

Quindi ti piacerebbe risolvere #f(x) = ln(x)# at #x=1# che presumo medio centrato #1# di cui faresti #a=1#

Risolvere:

#f(x) = ln(x)# e #f(1) = ln(1) = 0#

#f'(x) = 1/x# e #f'(1) = 1/1 = 1#

#f''(x) = -1/x^2# e #f''(1) = -1/(1)^2 = -1#

#f^((3))(x) = 2/x^3# e #f^((3))(1) = 2/(1)^3 = 2#

#f^((4))(x) = -((2)(3))/x^4# e #f^((4))(1) = -((2)(3))/(1)^4 = -(2)(3)#

Dove ora possiamo già iniziare a vedere un modello formarsi, quindi iniziamo a usare la nostra formula (2):

#0 + 1(x-1) - (1(x-1)^2)/(2!) + (2(x-1)^3)/(3!) - ((2)(3)(x-1)^4)/(4!) .....#

e ora prova a vedere come possiamo scrivere questo come una serie, che otteniamo: (iniziamo n = 1 perché il nostro primo termine è 0)

#f(x) = ln(x) = sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1) (((n-1)!)(x-1)^n)/(n!) #

Che può quindi semplificare a:

#f(x) = ln(x) = sum_(n=1)^oo (-1)^(n-1) (x-1)^n/n#