Come si differenzia # y = arcsin (x) #?

#y=arcsin(x)#

Prima di procedere, dobbiamo capire esattamente cosa stiamo cercando. Ricordatelo:

#y=arcsin(x)# è la funzione inversa di #y=sin(x)#

Questo può essere espresso come:

#y=arcsin(x) <=> x=sin(y)#

utilizzando

#x=sin(y)#

Dobbiamo differenziare rispetto a #x#, quindi questo dovrà essere differenziato implicitamente.

Ricordando che:

#d/dx(f(y))= (d)/(dy)(f(y))*dy/dx#

#dy/dx(x)=d/(dy)(sin(y))*dy/dx#

#1=cos(y)*dy/dx#

#dy/dx=1/cos(y)#

Da sopra #y = arcsin(x)#

Sostituzione in #dy/dx=1/cos(y)#

#:.#

#dy/dx=1/cos(arcsin(x))#

Questo è un po 'imbarazzante, e sarebbe più facile se potessimo esprimerlo in modo diverso.

Usando l'identità pitagorica:

#color(red)(sin^2(y)+cos^2(y)=1)#

#cos(y)=+-sqrt(1-sin^2(y))#

Usando la radice positiva: ( vedi sotto)

#:.#

#dy/dx=1/(sqrt(1-sin^2(y)))#

Da sopra #x=sin(y)#

Quindi:

#dy/dx=1/(sqrt(1-x^2)#

#:.#

#dy/dx(arcsin(x))=1/(sqrt(1-x^2)#

Motivo per l'utilizzo della radice positiva di #sqrt(1-sin^2(y))#

Questo è perché #y=sin(x)# ha solo un inverso se limitiamo il dominio a:

#-pi/2 <= x <= pi/2#

In #color(white)(88)1/cos(y)# , #color(white)(88)y# è un angolo ed è un angolo nell'intervallo

#-pi/2 <= x <= pi/2#

Questa gamma è nel I e IV quadranti, dove i rapporti del coseno sono positivi.