Come si espande # (1 + x ^ 3) ^ 4 # usando il triangolo di Pascal?
Risposta:
Poiché ci sono (4 + 1) = 5 termini in questa espansione, dobbiamo trovare i numeri che si trovano in #5^(th)# termine del triangolo di Pascal. Per trovare il numero di termini in un'espansione, aggiungi sempre 1 all'esponente, in modo da includere il #0^(th)# termine.
Spiegazione:
Disegna un diagramma per rappresentare il triangolo di Pascal. Ogni riga è la somma dei numeri sopra di essa, con 1 nella prima riga, (1 e 1) nella seconda riga, (1, 2 e 1) nella terza riga. Il seguente diagramma è del triangolo di Pascal:
Contando dalla riga con un singolo 1, troviamo che la riga 5 contiene i numeri 1, 4, 6, 4 e 1.
Per espandere, gli esponenti su 1 inizieranno da 4 e diminuiranno fino a 0. Gli esponenti su #x^3# aumenterà da 0 a 4. Come puoi vedere, in ogni termine gli esponenti devono aggiungere l'esponente dell'espressione, che in questo caso è 4.
#1(1)^4(x^3)^0 + 4(1)^3(x^3)^1 + 6(1)^2(x^3)^2 + 4(1)^1(x^3)^3 + 1(1)^0(x^3)^4#
Semplificazione usando le leggi degli esponenti:
#1 + 4x^3 + 6x^6 + 4x^9 + x^12#
Quando completamente espanso, #(1 + x^3)^4# = #1 + 4x^3 + 6x^6 + 4x^9 + x^12#. Come puoi vedere, in ogni t
Esercizi:
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Espandere #(2x - 3y)^5# usando il triangolo di Pascal.
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Trova il 3o termine in #(x + 3)^7#. Suggerimento: pensa di trovare il numero appropriato nel Triangolo di Pascal e di collegarlo per nCr in #t_(r + 1) = nCr(a)^(n - r) xx b^r#.
In bocca al lupo!