Come si integra: #cos (lnx) dx #?

Guardando #int cos(lnx) dx#, ci rendiamo conto che se non è possibile integrarsi immediatamente. Il prossimo pensiero è, forse potremmo usare la sostituzione.

Avremmo bisogno #cos(lnx) 1/x# da integrare per sostituzione.

A corto di idee, proviamo a mettere il "mancante" #1/x# e del #x# per compensarlo e provare a integrarlo per parti. (Sì, davvero. Prova prima qualcosa e vedi se funziona.)

#int cos(lnx) dx = int xcos(lnx) * 1/x dx #

lasciare #u = x# #" "# e #" "# #dv = cos(lnx) 1/x dx#

Così, #du = dx# #" "# e #" "# #v = sin(lnx)#

#int cos(lnx) dx = xsin(lnx) - underbrace(int sin(lnx) dx)_("again insert "x*1/x)# #" "#( Nota di seguito)

#int cos(lnx) dx = xsin(lnx) - int xsin(lnx) 1/x dx#

# = xsin(lnx) - [-xcos(lnx) -int -cos(lnx) dx]#

Quindi ora abbiamo:

#int cos(lnx) dx = xsin(lnx) + xcos(lnx) - int cos(lnx) dx#

#I = xsin(lnx) + xcos(lnx) - I#
ci prende:

#I = 1/2 [xsin(lnx) + xcos(lnx)]#

#int cos(lnx) dx = 1/2 [xsin(lnx) + xcos(lnx)] +C#

Come sempre, controlla differenziando.

Nota è chiaro che a questo punto abbiamo un integrale diverso, ma non è chiaro che abbiamo fatto progressi fino a quando non proveremo un altro o due passi. Se non avesse funzionato, avremmo bisogno di tornare all'inizio e provare qualcos'altro.