Come si semplifica #sin (arcsinx + arccosx) #?

Possiamo offrire due approcci a questo problema: usare la trigonometria dei triangoli retti (applicabile ai positivi #x#) e puramente trigonometrico (applicabile a tutti #x#, ma lo useremo per #x<=0#.

Analizziamo questo problema dalla posizione della trigonometria del triangolo rettangolo. Per questo, supponiamo che #0<x<=1#.

Poi #/_A=arcsin x# è un angolo da #0# a #pi/2#, loro di cui è #x#.
Supponiamo, questo angolo #/_A# è un angolo acuto di un triangolo rettangolo #Delta ABC#. Così, #sin(/_A)# è un rapporto di un cateto opposto #a# ipotenuso #c#:
#x=sin(/_A)=a/c#

Considera un altro angolo acuto di questo triangolo: #/_B#.
Espressione #a/c# rappresenta il suo coseno.
Perciò,
#/_B = arccos(a/c)=arccos x#

Ora lo vediamo #/_A=arcsin x# e #/_B=arccose x# sono due angoli acuti in un triangolo rettangolo. La loro somma è sempre #pi/2#.
Perciò,
#sin(arcsin x+arccos x)=sin(pi/2)=1#

Caso con non positivo #x# considereremo in modo diverso.

If #x <= 0#, #arcsin x# è tra #-pi/2# e #0#.

If #x <= 0#, #arccos x# è tra #pi/2# e #pi#.

Usando la formula per #sin# di una somma di due angoli,
#sin(arcsin x+arccos x) =#
#= sin(arcsin x)*cos(arccosx) + cos(arcsin x)*sin(arccos y)#

Per definizione di funzioni trigonometriche inverse #arcsin# e #arccos#, scriviamo quanto segue:
#sin(arcsin x)=x#
#cos(arccos x)=x#

Usando l'identità trigonometrica #sin^2(phi)+cos^2(phi)=1#, possiamo trovare gli altri componenti:
#cos^2(arcsin x) = 1-sin^2(arcsinx) = 1-x^2#
#sin^2(arccos x) = 1-cos^2(arccos x) = 1-x^2#

Dal #arcsin x# è tra #-pi/2# e #0#, suo cosin è positivo:
#cos^2(arcsin x) = 1-x^2#
#=>cos(arcsin x) sqrt(1-x^2)#

Dal #arccos x# è tra #pi/2# e #pi#, suo loro è positivo:
#sin^2(arccos x) = 1-x^2#
#=>sin(arccos x) sqrt(1-x^2)#

Ora possiamo calcolare il valore dell'espressione originale:
#sin(arcsin x+arccos x) =#
#= sin(arcsin x)*cos(arccosx) + cos(arcsin x)*sin(arccos y) =#
#= x*x+sqrt(1-x^2)*sqrt(1-x^2) =#
#= x^2 +1 -x^2 = 1#
(come nel caso che abbiamo fatto geometricamente).