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Come si trova la lunghezza della curva per # y = ln (1-x²) # per (0, 1/2)?

La formula per la lunghezza dell'arco della curva #y# sull'intervallo #[a,b]# è dato da:

#s=int_a^bsqrt(1+(dy/dx)^2)dx#

Qui dove #y=ln(1-x^2)#, poi #dy/dx=(-2x)/(1-x^2)=(2x)/(x^2-1)#.

Pertanto, la lunghezza dell'arco in questione è:

#s=int_0^(1//2)sqrt(1+((2x)/(x^2-1))^2)dx#

#s=int_0^(1//2)sqrt(((x^2-1)^2+(2x)^2)/(x^2-1)^2)dx#

#s=int_0^(1//2)sqrt(x^4-2x^2+1+4x^2)/(x^2-1)dx#

#s=int_0^(1//2)sqrt(x^4+2x^2+1)/(x^2-1)dx#

Si noti che questo è determinante:

#s=int_0^(1//2)sqrt((x^2+1)^2)/(x^2-1)dx#

#s=int_0^(1//2)(x^2+1)/(x^2-1)dx#

riscrittura:

#s=int_0^(1//2)(x^2-1+2)/(x^2-1)dx#

#s=int_0^(1//2)(1+2/(x^2-1))dx#

Esegui frazioni parziali sul secondo pezzo:

#2/(x^2-1)=A/(x-1)+B/(x+1)#

#2=A(x+1)+B(x-1)#

Letting #x=1# rivela che

#2=2A" "=>" "A=1#

E lasciare #x=-1# mostra che

#2=-2B" "=>" "B=-1#

So

#2/(x^2-1)=1/(x-1)-1/(x+1)#

Poi

#s=int_0^(1//2)(1+1/(x-1)-1/(x+1))dx#

Quali sono tutti facilmente integrabili:

#s=[x+lnabs(x-1)-lnabs(x+1)]_0^(1//2)#

#s=[x+lnabs((x-1)/(x+1))]_0^(1//2)#

#s=(1/2+lnabs((1/2-1)/(1/2+1)))-(0+lnabs((0-1)/(0+1)))#

#s=1/2+lnabs((-1/2)/(3/2))+lnabs(-1)#

#s=1/2+ln(1/3)#

Or

#s=1/2-ln3#

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