Come si trova una rappresentazione della serie di potenze per # 1 / (1-x) ^ 2 # e qual è il raggio di convergenza?

Ci viene dato

#f(x)=1/(1-x)^2#

Questo è abbastanza simile a #1/(1-x)#, per cui conosciamo una serie di potenze:

#1/(1-x) = 1+x+x^2+...=sum_(k=0)^oo x^k#

Il raggio di convergenza per questa serie di potenze è #x in (-1,1)#.

Mentre sarebbe facile dirlo

#1/(1-x)^2 = (sum_(k=0)^oo x^k)^2#

Questa non è una rappresentazione valida di una serie di potenze.

Di solito nascono alcune serie di potenze derivati. Vale la pena provare anche questo.

#"d"/("d"x) [1/(1-x)] = "d"/("d"x) [1+x+x^2+...]#

Dal regola del quoziente,

#"d"/("d"x) [1/(1-x)] = - ("d"/("d"x) [1-x])/(1-x)^2=color(red)(1/(1-x)^2#

As #"d"/("d"x) x^k = kx^(k-1)#:

#"d"/("d"x) [1+x+x^2+...] = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + ... = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)#

Da qui la rappresentazione della serie di potenze di #f(x)# is

#1/(1-x)^2 = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)#

con raggio di convergenza #x in (-1,1)#.