Come si trova una rappresentazione della serie di potenze per 1 / (1-x) ^ 2 e qual è il raggio di convergenza?
Risposta:
1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+...
Spiegazione:
Ci viene dato
f(x)=1/(1-x)^2
Questo è abbastanza simile a 1/(1-x), per cui conosciamo una serie di potenze:
1/(1-x) = 1+x+x^2+...=sum_(k=0)^oo x^k
Il raggio di convergenza per questa serie di potenze è x in (-1,1).
Mentre sarebbe facile dirlo
1/(1-x)^2 = (sum_(k=0)^oo x^k)^2
Questa non è una rappresentazione valida di una serie di potenze.
Di solito nascono alcune serie di potenze derivati. Vale la pena provare anche questo.
"d"/("d"x) [1/(1-x)] = "d"/("d"x) [1+x+x^2+...]
Dal regola del quoziente,
"d"/("d"x) [1/(1-x)] = - ("d"/("d"x) [1-x])/(1-x)^2=color(red)(1/(1-x)^2
As "d"/("d"x) x^k = kx^(k-1):
"d"/("d"x) [1+x+x^2+...] = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + ... = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)
Da qui la rappresentazione della serie di potenze di f(x) is
1/(1-x)^2 = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)
con raggio di convergenza x in (-1,1).