Come si trova una rappresentazione della serie di potenze per 1 / (1-x) ^ 2 e qual è il raggio di convergenza?

Risposta:

1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+...

Spiegazione:

Ci viene dato

f(x)=1/(1-x)^2

Questo è abbastanza simile a 1/(1-x), per cui conosciamo una serie di potenze:

1/(1-x) = 1+x+x^2+...=sum_(k=0)^oo x^k

Il raggio di convergenza per questa serie di potenze è x in (-1,1).

Mentre sarebbe facile dirlo

1/(1-x)^2 = (sum_(k=0)^oo x^k)^2

Questa non è una rappresentazione valida di una serie di potenze.

Di solito nascono alcune serie di potenze derivati. Vale la pena provare anche questo.

"d"/("d"x) [1/(1-x)] = "d"/("d"x) [1+x+x^2+...]

Dal regola del quoziente,

"d"/("d"x) [1/(1-x)] = - ("d"/("d"x) [1-x])/(1-x)^2=color(red)(1/(1-x)^2

As "d"/("d"x) x^k = kx^(k-1):

"d"/("d"x) [1+x+x^2+...] = 0 + 1 + 2x + 3x^2 + ... = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)

Da qui la rappresentazione della serie di potenze di f(x) is

1/(1-x)^2 = sum_(k=0)^oo kx^(k-1)

con raggio di convergenza x in (-1,1).

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