Come si usa il test di confronto dei limiti per determinare se #Sigma sin (1 / n) # da # [1, oo) # è convergente o divergente?

lasciare #a_n=sin(1/n)# e #b_n=1/n#.

Poi #lim_(nrarroo)a_n/b_n=lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n)#. Esistono diversi modi per avvicinarsi a questo limite. Il primo è sostituire le variabili: come #nrarroo,1/nrarr0#, quindi questo può essere riscritto come #lim_(ararr0)sin(a)/a#, che è un limite fondamentale: #lim_(ararr0)sin(a)/a=1#. Così:

#lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n)=lim_(ararr0)sin(a)/a=1#

Un altro modo di aggirare il limite è applicare la regola di L'Hopital, poiché è nella forma indeterminata #0/0#. Così:

#lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n)=lim_(nrarroo)(-1/n^2cos(1/n))/(-1/n^2)=lim_(nrarroo)cos(1/n)=cos(0)=1#

Ad ogni modo, lo vediamo #lim_(nrarroo)a_n/b_n=1#, che è un valore definito positivo.

Secondo il test di confronto dei limiti questo ci dice questo #suma_n# e #sumb_n# sono entrambi convergenti o entrambi divergenti.

Dal #b_n=1/n#, Lo vediamo #sumb_n# è divergente (è la serie armonica), quindi possiamo concludere #suma_n=sum_(n=1)^oosin(1/n)# è anche divergente.