Come trova il valore esatto di #arctan (2) #?
Risposta:
Questo non è un numero razionale di gradi, né un multiplo razionale di #pi# radianti.
Possiamo scrivere:
#arctan 2 = pi/2 - sum_(k=0)^oo (-1)^k 1/(2^(2k+1)(2k+1))#
Spiegazione:
#arctan(2)# è un angolo in un triangolo rettangolo con i lati #"adjacent" = 1#, #"opposite" = 2# e #"hypotenuse" = sqrt(5)#. Non è un multiplo razionale di #pi# radianti né un numero razionale di gradi.
Possiamo rappresentarlo come la somma di una serie infinita.
Nota che:
#arctan x =sum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k+1)/(2k+1) = x - x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-x^11/11+...#
Tuttavia, questo converge solo per #abs(x) <= 1#.
Per ottenere una serie che converge, possiamo usare:
#tan (pi/2 - x) = 1/tan x#
Così:
#arctan(1/x) = pi/2 - arctan x#
e quindi:
#arctan 2 = pi/2 - arctan (1/2)#
#color(white)(arctan 2) = pi/2 - sum_(k=0)^oo (-1)^k 1/(2^(2k+1)(2k+1))#