Come trova l'antiderivativo più generale della funzione per #f (x) = x - 7 #?

L'antiderivativo generale di #f(x)# is #F(x)+C#, Dove #F# è una funzione differenziabile. Tutto ciò significa che se si differenzia l'antiderivativo, si ottiene la funzione originale, quindi per trovare l'antiderivativo, si inverte il processo di ricerca di un derivato.

Ti sembra confuso? Più semplice di quanto detto. Quello che stiamo facendo è solo prendere l'integrale indefinito di #f(x)# - in altre parole, #int x-7 dx#. Le proprietà degli integrali dicono che possiamo spezzarlo in pezzi in caso di addizione e sottrazione; in tal modo,

#intx-7dx = intxdx-int7dx#.

Usando ulteriormente le proprietà degli integrali,

#intx-7dx = intxdx-7intdx#

Prima di tutto #intxdx#. Ciò che ci chiediamo è: quale funzione, quando ne prendi la derivata, è uguale #x#? Bene, #x^2/2#, ovviamente! Usando il regola del potere, moltiplichiamo l'espressione per l'esponente e quindi riduciamo l'esponente di uno; farlo dà #2*(x^(2-1))/2 = x#. Quindi, il nostro primo integrale si riduce a #x^2/2+C#.

Ora, perché il #C#? Mettiamo il #C# (che è solo una costante - qualsiasi vecchio numero, come #2#, #sqrt(5)# e #pi#) perché stiamo trovando l'antiderivativo generale. Quindi, non sappiamo se ci sia un altro numero nascosto nel nostro antiderivativo - quindi mettiamo il #C# lì per renderlo generale e coprire le nostre spalle.

Infine, valutiamo #7intdx#. Questo (#intdx#) è chiamato integrale perfetto perché il suo risultato è semplice #x#. Dal momento che abbiamo un #7# di fronte ad esso, il nostro risultato finale è #7x+C# (non dimenticare mai il #C#!).

Finalmente possiamo mettere insieme i nostri pezzi per la risposta finale:

#intx-7dx = intxdx-int7dx#
#intx-7dx = (x^2/2 + C) - (7x + C#)
# = x^2/2 + C - 7x - C# (distribuzione del segno negativo)

Potresti pensare #C-C = 0#, ma non è del tutto giusto. Richiama questo #C# is qualsiasi numero - entrambi. Così uno #C# può essere #4# e l'altro può essere #3#, nel qual caso #C-C = 1# or #-1#. Ma poi di nuovo #1# e #-1# sono costanti, vero? Infatti, #C-C# sarà sempre una costante, e da allora #C# rappresenta una costante, possiamo solo chiamare #C-C# normale #C#. Prendi la mia parola per questo.

Quindi, il risultato finale è #x^2/2-7x+C#.