Come trova l'intervallo di convergenza per una serie di potenze?

L'intervallo di convergenza di una serie di potenze è l'insieme di tutti i valori x per i quali convergono le serie di potenze.

Troviamo l'intervallo di convergenza di #sum_{n=0}^infty{x^n}/n#.
Con Ratio Test,
#lim_{n to infty}|{a_{n+1}}/{a_n}|
=lim_{n to infty}|x^{n+1}/{n+1}cdotn/x^n|
=|x|lim_{n to infty}n/{n+1}#
#=|x|cdot 1=|x|<1 Rightarrow -1 < x < 1#,
il che significa che la serie di potenze converge almeno su #(-1,1)#.

Ora, dobbiamo verificarne la convergenza agli endpoint: #x=-1# e #x=1#.

If #x=-1#, la serie di potenza diventa l'alternanza serie armonica
#sum_{n=0}^infty(-1)^n/n#,
che è convergente. Così, #x=1# dovrebbe essere incluso.

If #x=1#, la serie di potenze diventa serie armonica
#sum_{n=0}^infty1/n#,
che è divergente. Così, #x=1# dovrebbe essere escluso.

Quindi, l'intervallo di convergenza è #[-1,1)#.