Come trovare il momento d'inerzia di un cilindro solido sull'asse trasversale (perpendicolare) che passa attraverso il suo centro?

Figura 1.

Consideriamo un cilindro di lunghezza #L#, Massa #M#e raggio #R# collocato in modo tale #z# l'asse è lungo il suo asse centrale come in figura.
Sappiamo che la sua densità #rho="Mass"/"Volume"=M/V#.

Figura 2.

Consideriamo che il cilindro è costituito da dischi infinitesimalmente sottili ciascuno di spessore #dz#. Se #dm# è la massa di uno di questi dischi, quindi
#dm=rho times "Volume of disk"#

or #dm=M/V times (pi R^2.dz)#,
da #V="Areal of circular face"xx"length"=pi R^2L#, otteniamo
#dm=M/(pi R^2L) times (pi R^2.dz)#

or #dm=M/Ldz# ...... (1)
Step 1.

Conosciamo quel momento d'inerzia di un disco circolare di massa #m# e di raggio #R# circa il suo asse centrale è lo stesso di un cilindro di massa #M# e raggio #R# ed è dato dall'equazione
#I_z=1/2mR^2#. Nel nostro caso

#dI_z=1/2dmR^2#...... (2)
Step 2.

Osservare dalla figura 2 che questo momento di inerzia è stato calcolato #z# asse. Nel problema ci viene richiesto di trovare il momento d'inerzia attorno all'asse trasversale (perpendicolare) che passa attraverso il suo centro. Sapendo che l'asse di rotazione desiderato è trasversale, quindi dobbiamo applicare il teorema dell'asse perpendicolare che afferma:

Il momento di inerzia attorno a un asse che è perpendicolare al piano contenuto dai restanti due assi è la somma dei momenti di inerzia attorno a questi due assi perpendicolari, attraverso lo stesso punto nel piano dell'oggetto.
Ne consegue che
#dI_z=dI_x+dI_y# ..... (3)
Anche dalla simmetria vediamo quel momento di inerzia #x# l'asse deve essere uguale al momento d'inerzia circa #y# asse.
#:. dI_x=dI_y# ...... (4)
Combinando le equazioni (3) e (4) otteniamo
#dI_x=(dI_z)/2#, In sostituzione #I_z# da (2), otteniamo
#dI_x=1/2xx1/2dmR^2#

or #dI_x=1/4dmR^2#

Lascia che il disco infinitesimale sia posizionato a distanza #z# dall'origine che coincide con il centro di massa.

Ora usiamo il teorema dell'asse parallelo attorno al #x# asse che afferma:

Il momento di inerzia attorno a qualsiasi asse parallelo a quell'asse attraverso il centro di massa è dato da

#I_"Parallel axis"=I_"Center of Mass"+"Mass"times"d^2#
where #d# è la distanza dell'asse parallelo dal centro di massa.
#dI_x=1/4dmR^2+dmz^2# ...... (5)
Step 3.
Inserisci il valore di #dm# calcolato in (1) nel momento dell'inerzia equazione (5) per esprimerlo in termini di #z# quindi integrare sulla lunghezza del cilindro dal valore di #z=-L/2# a #z=+L/2#
#I_x=int_(-L/2)^(+L/2)dI_x=int_(-L/2)^(+L/2)1/4M/LdzR^2+int_(-L/2)^(+L/2)z^2 M/Ldz#
#I_x=1/4M/LR^2z+M/L z^3/3]_(-L/2)^(+L/2)#,
ignorando la costante di integrazione in quanto integrale definito.

#I_x=1/4M/LR^2[L/2-(-L/2)]+M/(3L) [(L/2)^3-(-L/2)^3]#

or #I_x=1/4M/LR^2L+M/(3L) (2L^3)/2^3 #

or #I_x=1/4MR^2+1/12M L^2 #