Come trovate tutti gli estremi relativi della funzione #f (x) = -x ^ 3 -6x ^ 2-9x-2 #?

Per una determinata funzione, estremi relativi, o massimi e minimi locali, può essere determinato utilizzando il primo test derivativo, che consente di verificare eventuali modifiche ai segni di #f^'# intorno alla funzione punti critici.

Per un punto critico essere extrema locale, la funzione deve passare da crescente, Cioè positivo #f^'#, decrescente, Cioè negativo #f^'#, o viceversa, attorno a quel punto.

Quindi, inizia determinando la prima derivata di #f#

#f^' = -3x^2 - 12x - 9#

Per determinare i punti critici della funzione, effettuare #f^' = 0# e risolvere per #x#

#f^' = 0#

#f^' = -3x^2 - 12x - 9 = 0#

Questo equivale a

#-3(x^2 + 4x + 3) = 0#, o

#x^2 + 4x + 3 = 0#

#x_(1,2) = (-4 +- sqrt(4^2 - 4 * 1 * 3))/2 = {(x_1 = -3), (x_2 = -1) :}#

Dal momento che non vengono fornite restrizioni al dominio per la tua funzione, entrambe le soluzioni lo saranno punti critici.

Ora controlla se le prime modifiche alla derivata firmano intorno a questi punti. Dato che hai a che fare con due punti critici, dovrai guardare 3 intervalli.

Selezionare un valore per ogni intervallo di questi intervalli e annotare il segno di #f^'#

• #(-oo,-3)#

#f^'(-4) = -3* (-4 + 1) * (-4+3)#

#f^'(-4) = -3 * (-3) * (-1) = -9 -> color(red)("negative")#

• #(-3,-1)#

#f^'(0) = -3 * (-2+1) * (-2+3)#

#f^'(0) = -3 * (-1) * (+1) = 3 -> color(green)("positive")#

• #(-1, oo)#

#f^'(0) = -3 * (0+1) * (0 + 3)#

#f^'(0) = -3 * 1 * 3 = -9 -> color(red)("negative")#

La prima derivata cambia segno due volte. Va dall'essere negativo essere positivo in giro #x=-3#, il che significa che questo punto critico è a minimo locale.

D'altra parte, passa dall'essere positivo essere negativo intorno al punto #x=-1#, il che significa che questo punto critico è a massimo locale.

Ciò equivale ad avere una funzione da cui proviene decrescente a crescente (pensa a una valle) intorno al punto #x=-3#, e da crescente a decrescente (pensa a una collina) intorno al punto #x=-1#.

Per ottenere i punti effettivi in ​​cui la funzione ha il minimo locale e il massimo, valutare #f# nei punti critici.

#f(-3) = -(-3)^3 - 6 (-3)^2 - 9(-3) - 2#

#f(3) = 27-54-27 - 2= -2#

e

#f(-1) = -(-1)^3 - 6(-1)^2 - 9(-1) - 2#
#f(-1) = 1 -6 + 9 -2 = 2#

Pertanto, la funzione #f# ha

#color(green)((-3"," -2)) -># minimo locale
#color(green)((-1","2)) -># massimo locale

grafico {-x ^ 3 - 6x ^ 2 - 9x - 2 [-10, 10, -5, 5]}