Come trovi il modello esponenziale #y = ae ^ (bx) # che si adatta ai due punti (0, 8), (1, 3)?

È bello che ci venga dato il punto, #(0,8),# perché ci permette di trovare il valore di #a# prima di trovare il valore di b:

Sostituisci il punto #(0,8)# fra le #y=ae^(bx)#:

#8=ae^(b(0))#

Qualsiasi numero elevato alla potenza zero è 1:

#8 = a(1)#

#a = 8#

Usa il punto, #(1,3),# per trovare il valore di b:

#3 = 8e^(b(1))#

#e^b= 3/8#

#b = ln(3/8)#

L'equazione finale è:

#y = 8e^(ln(3/8)x)#

Spesso, lo stesso problema viene chiesto in cui la coordinata x di uno dei punti non è 0. Quando ciò accade, è necessario trovare il valore di #b# prima di trovare il valore di #a#; ecco come lo fai:

Dato, due punti, #(x_1,y_1)# e #(x_2,y_2)# e #y= ae^(bx)#

Scrivi due equazioni sostituendo ciascun punto nell'equazione data:

#y_1=ae^(bx_1)" [1]"#

#y_2=ae^(bx_2)" [2]"#

Dividi equazione [2] per equazione [1]:

#y_2/y_1=(ae^(bx_2))/(ae^(bx_1))#

Per favore, osservalo #a# viene eliminato perché viene annullato per divisione:

#y_2/y_1=(cancel(a)e^(bx_2))/(cancel(a)e^(bx_1)) = (e^(bx_2))/(e^(bx_1))#

Quando dividi due numeri con la stessa base, equivale a sottrarre gli esponenti:

#y_2/y_1 = e^(bx_2-bx_1)#

Capovolgi l'equazione e usa il logaritmo naturale su entrambi i lati:

#ln(e^(bx_2-bx_1))= ln(y_2/y_1)#

Perché #ln# e #e# sono inversi solo l'esponente rimane a sinistra:

#bx_2-bx_1= ln(y_2/y_1)#

Scomporre #b#:

#b(x_2-x_1)= ln(y_2/y_1)#

Dividi entrambi i lati per #(x_2-x_1)#:

#b= ln(y_2/y_1)/(x_2-x_1)#

Ora che hai il valore di #b#, puoi sostituire il suo valore nell'equazione [1] o nell'equazione [2] per risolvere il valore di #a#.