Come trovi la serie Maclaurin di $f (x) = e^{- 2 x}$ $f (x) = e ^ (- 2x)$ ?

La serie Maclaurin di $f_{(x)} = e^{- 2 x}$ $f_{(x)}=e^{-2x}$ is

$f_{(x)} = 1 + (- 2 x) + \frac{{(- 2 x)}^{2}}{2!} + \frac{{(- 2 x)}^{3}}{3!} + . . .$ $f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .$

Primo metodo di soluzione: la serie Maclaurin di $y = e^{z}$ $y=e^z$ is

$y = 1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{4}}{4!} + . . .$ $y=1+z+z^2/{2!}+z^3/{3!}+z^4/{4!}+ . . .$

lasciare $z = - 2 x$ $z=-2x$ .

Poi $quad f_{(x)}=e^{-2x}=e^zquad$ e $f_{(x)}$ ha la stessa serie di Maclaurin di quella sopra, tranne che abbiamo impostato $z=-2x$ e prendi

$f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .$

Ho usato la famosa serie Maclaurin per $y=e^z$ per ottenere la risposta. Se questa serie non è stata discussa in classe, è necessario utilizzare la definizione generale di una serie Maclaurin per ottenere la risposta.

La serie Maclaurin di $f_{(x)}$ is

$f_{(x)}= f_((x=0))$ $quad +{f'_((x=0))}/{1!}x$

$quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad +{f''_((x=0))}/{2!]x^2$

$quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad+ {f'''_((x=0))}/{3!}x^3+. . .$

^ Impossibile mettere tutti i termini sulla stessa riga, scusate la formattazione scadente.

Comunque, il primo termine è $f_{(x=0)}$ . Qui, $quad f_{(x=0)}=e^{-2(0)}=1$ .

Il secondo termine è ${f'_{(x=0)}}/{1!}x={-2e^{-2(0)}}/1x=-2x$

Il terzo termine è ${f''_{(x=0)}}/{2!}x^2={(-2)^2e^{-2(0)}}/{2!}x^2={(-2x)^2}/{2!}$

Questi sono gli stessi termini della serie Maclaurin che ho scritto sopra.

Osservando uno schema, il $n^{th}$ termine della serie è $(-2x)^n/{n!}$

Usando un segno di sommatoria, la serie Maclaurin di $f_{(x)}$ può essere scritto invece come

$f_{(x)}=Sigma_{n=0}^{n=infty} [(-2x)^n/{n!} ]$

Come trovi la serie Maclaurin di f (x) = e ^ (- 2x) f(x)=e−2xf (x) = e ^ (- 2x) ?

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Come trovi la serie Maclaurin di $f (x) = e^{- 2 x}$ $f (x) = e ^ (- 2x)$ ?