Come trovi la serie Maclaurin di #f (x) = e ^ (- 2x) #?

La serie Maclaurin di #f_{(x)}=e^{-2x}# is

#f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .#

Primo metodo di soluzione: la serie Maclaurin di #y=e^z# is

#y=1+z+z^2/{2!}+z^3/{3!}+z^4/{4!}+ . . .#

lasciare #z=-2x#.

Poi #quad f_{(x)}=e^{-2x}=e^zquad# e #f_{(x)}# ha la stessa serie di Maclaurin di quella sopra, tranne che abbiamo impostato #z=-2x# e prendi

#f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .#

Ho usato la famosa serie Maclaurin per #y=e^z# per ottenere la risposta. Se questa serie non è stata discussa in classe, è necessario utilizzare la definizione generale di una serie Maclaurin per ottenere la risposta.

La serie Maclaurin di #f_{(x)}# is

# f_{(x)}= f_((x=0))## quad +{f'_((x=0))}/{1!}x#

#quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad +{f''_((x=0))}/{2!]x^2#

#quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad+ {f'''_((x=0))}/{3!}x^3+. . . #

^ Impossibile mettere tutti i termini sulla stessa riga, scusate la formattazione scadente.

Comunque, il primo termine è #f_{(x=0)}#. Qui, #quad f_{(x=0)}=e^{-2(0)}=1#.

Il secondo termine è #{f'_{(x=0)}}/{1!}x={-2e^{-2(0)}}/1x=-2x#

Il terzo termine è #{f''_{(x=0)}}/{2!}x^2={(-2)^2e^{-2(0)}}/{2!}x^2={(-2x)^2}/{2!}#

Questi sono gli stessi termini della serie Maclaurin che ho scritto sopra.

Osservando uno schema, il #n^{th}# termine della serie è #(-2x)^n/{n!}#

Usando un segno di sommatoria, la serie Maclaurin di #f_{(x)}# può essere scritto invece come

#f_{(x)}=Sigma_{n=0}^{n=infty} [(-2x)^n/{n!} ]#