Come trovi la serie Maclaurin per # f (x) = 1 / (1-x) #?

Dato:

#f(x) = 1/(1-x)#

Mi sembra che il modo più semplice per trovare la serie Maclaurin sia fondamentalmente iniziare a scrivere il moltiplicatore per #(1-x)# che risulta in un valore di #1#...

Annotare:

#1 = (1-x)(...#

Il primo termine del moltiplicatore sarà #1#, al fine di ottenere #1# quando moltiplicato, quindi aggiungilo a destra:

#1 = (1-x)(1...#

quando #-x# viene moltiplicato per #1# ci darà #-x# per cancellare. Quindi il prossimo termine sul lato destro è #x#...

#1 = (1-x)(1+x...#

quando #-x# viene moltiplicato per #x# ci darà #-x^2# per cancellare. Quindi il prossimo termine sul lato destro è #x^2#...

#1 = (1-x)(1+x+x^2...#

Continuando in questo modo, otteniamo:

#1 = (1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4+...)#

Così:

#1/(1-x) = 1+x+x^2+x^3+x^4+... = sum_(k=0)^oo x^k#

Si noti che se #abs(x) < 1# quindi il resto diventa più piccolo ogni volta che aggiungiamo un termine sul lato destro. Quindi la serie Maclaurin converge per #abs(x) < 1#.