Come trovi la serie Maclaurin per #arctan x # centrata su x = 0?

Inizia dalla somma di a serie geometrica, che è:

#sum_(n=0)^oo xi^n = 1/(1-xi)#

ora sostituisci: #xi = -t^2# e noi abbiamo:

#sum_(n=0)^oo (-t^2)^n = 1/(1+t^2)#

o:

#sum_(n=0)^oo (-1)^nt^(2n) = 1/(1+t^2)#

Se integriamo ora la serie termine per termine abbiamo:

#sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = int_0^x (dt)/(1+t^2)#

Al secondo membro abbiamo un integrale standard:

#int_0^x (dt)/(1+t^2) = arctanx#

quindi abbiamo:

#arctanx = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = sum_(n=0)^oo (-1)^n [t^(2n+1)/(2n+1)]_0^x#

e infine:

#arctanx = sum_(n=0)^oo (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)#