Come trovi le serie della serie taylor per $f (x) = lnx$ at a = 2?

$ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3-1/64(x-2)^4+cdots$

Utilizzare la seguente espressione per la serie Taylor di una funzione infinitamente differenziabile in $x=a$ :

$f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a))/(2!)(x-a)^2+(f'''(a))/(3!)(x-a)^3+(f''''(a))/(4!)(x-a)^4cdots$

Dal $f(x)=ln(x)$ , noi abbiamo $f'(x)=1/x=x^{-1}$ , $f''(x)=-x^{-2}$ , $f'''(x)=2x^{-3}$ , $f''''(x)=-6x^{-4}$ , Ecc ...

Dal $a=2$ , calcoliamo $f(2)=ln(2)$ , $f'(2)=1/2$ , $f''(2)=-1/4$ , $f'''(2)=2/8=1/4$ , $f''''(2)=-6/16=-3/8$ , Ecc ...

Pertanto, possiamo scrivere la risposta come

$ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3-1/64(x-2)^4+cdots$

Questa serie sembra essere uguale $ln(x)$ for $0 < x < 4$ (il "raggio di convergenza" è 2 ed equivale alla funzione anche per questi valori).

Come trovi le serie della serie taylor per f (x) = lnx f (x) = lnx at a = 2?