Come trovi l'integrale di $arccos (x) x$ ?

$I=x^2/2arc cosx+1/4arc sinx-x/4sqrt(1-x^2)+C$

Qui ,

$I=intarc cosx*xdx$

$I=arc cosx intxdx-int(d/(dx)(arc cosx)intxdx)dx$

$I=arc cosx(x^2/2)-int(-1)/sqrt(1-x^2)xxx^2/2dx$

$I=x^2/2arc cosx+1/2intx^2/sqrt(1-x^2)dx$

$color(red)(I=x^2/2arc cosx+1/2I_1............to(A)$

dove, $I_1=intx^2/sqrt(1-x^2)dx$

Sost. $color(blue)(x=sinu=>dx=cosudu$

Così,

$I_1=intsin^2u/sqrt(1-sin^2u)cosudu$

$I_1=intsin^2u/cosucosudu$

$I_1=intsin^2udu$

$I_1=int(1-cos2u)/2du$

$I_1=1/2[u-(sin2u)/2]+c$

$I_1=1/2[u-sinucosu]+c$

$I_1=1/2[u-sinusqrt(1-sin^2u)]+c$

Sost. indietro $color(blue)(sinu=x and u=arcsinx$

$I_1=1/2[arc sinx-xsqrt(1-x^2)]+c$

Sost. valore di $I_1$ fra le $color(red)((A)$ otteniamo

$I=x^2/2arc cosx+1/2{1/2[arc sinx-xsqrt(1-x^2)]}+C$

$I=x^2/2arc cosx+1/4arc sinx-x/4sqrt(1-x^2)+C$

Come trovi l'integrale di arccos (x) x arccos (x) x ?