Come trovo il punto sul grafico f (x) = sqrt (x) più vicino al punto (4,0)? Per favore, mostra il lavoro

Ciò che ci viene chiesto qui è semplicemente ridurre al minimo la distanza. Inoltre, nota che possiamo scrivere #f(x)=sqrt(x)# as #y=sqrt(x)#.

Ora, che cos'è questa "distanza?" Come lo troviamo? Bene, se ripensi ad Algebra I o Geometria, ti ricorderai che la distanza tra due punti #(x_1,y_1)# e #(x_2,y_2)# è dato da: #sqrt((y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2)#. Ad esempio, la distanza tra i punti #(4,0)# e #(0,3)# sarebbe:
#sqrt((3-0)^2+(4-0)^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=5#

Ok, quindi cos'è #(x_1,y_1)# e #(x_2,y_2)# nel nostro esempio? #(x_1,y_1)# è semplice - è solo il punto indicato nel problema, #(4,0)#. Perché non sappiamo cosa #x_2# è, lo chiameremo semplicemente #x# per adesso. Quanto a #y_2#, non lo sappiamo neanche noi; e da allora #y=sqrt(x)#, lo chiameremo #sqrt(x)#.

La nostra formula diventa quindi:
#sqrt((sqrt(x)-0)^2+(x-4)^2)=sqrt((sqrt(x)^2)+x^2-8x+16)=sqrt(x+x^2-8x+16)=sqrt(x^2-7x+16)#

Ci viene chiesto di ridurre al minimo questa distanza, che chiameremo #s# per facilitare i seguenti calcoli. Per minimizzare qualcosa, dobbiamo prendere la sua derivata, quindi cominciamo da lì:
#s=sqrt(x^2-7x+16)=(x^2-7x+16)^(1/2)#
#(ds)/dx=(2x-7)*1/(2(x^2-7x+16)^(1/2))->#utilizzando regola del potere e regola di derivazione
#(ds)/dx=(2x-7)/(2sqrt(x^2-7x+16)#

Ora impostiamo questo uguale a #0# e risolvere per #x#:
#0=(2x-7)/(2sqrt(x^2-7x+16)#

#0=2x-7#

#x=7/2#

Questo è noto come il valore criticoe rappresenta il #x#-valore per il quale la funzione è ridotta a icona. Tutto quello che dobbiamo fare ora è trovare il corrispondente #y#-valore, usando la definizione di #y#: #y=sqrt(x)#. Substituing #7/2# for #x#:
#y=sqrt(7/2)#
#y~~1.87#

E voilà, il #y#-valore. Ora possiamo dire che la distanza minima tra #f(x)=sqrt(x)# e il punto #(4,0)# (il luogo in cui questi due sono più vicini) si verifica in #(7/2, 1.87)#. Per un po 'di divertimento in più, possiamo usare la formula della distanza per vedere qual è la distanza effettiva tra i punti:
#s=sqrt((1.87-0)^2+(7/2-4)^2)~~1.8# unità