Come valuti #sin (pi / 5) #?

lasciare #theta=pi/5#, poi #5theta=pi#

e #3theta=pi-2theta#. Nota #theta) è un angolo acuto.

Quindi #sin3theta=sin(pi-2theta)# ma come #sin(pi-A)=sinA#

Questo può essere scritto come

#sin3theta=sin2theta# espandendoli

or #3sintheta-4sin^3theta=2sinthetacostheta#

as #theta=pi/5# ne ha #sintheta!=0# e dividendola ci arriviamo

#3-4sin^2theta=2costheta# or

#3-4(1-cos^2theta)=2costheta#

or #4cos^2theta-2costheta-1=0#

e usando la formula quadratica #costheta=(2+-sqrt(2^2-4*4*(-1)))/(2*4)#

= #(2+-sqrt(20))/8=(1+-sqrt5)/4#.

Ma come #(1-sqrt5)/4# è negativo e #costheta# non può assumere questo valore, quindi

#costheta=(1+sqrt5)/4# e

#sintheta=sqrt(1-((1+sqrt5)/4)^2)=sqrt(1-((1+5+2sqrt5)/16))#

= #sqrt((16-6-2sqrt5)/16)=sqrt(10-2sqrt5)/4#

As #theta=pi/5#

#sin(pi/5)=sqrt(10-2sqrt5)/4#