Determina la forma completamente fattorizzata di #f (x) = 12x ^ 3 - 44x ^ 2 + 49x - 15 #?

#f(x) = 12x^3-44x^2+49x-15#

Dal teorema delle radici razionali, qualsiasi razionale zero di #f(x)# è espressibile nella forma #p/q# per numeri interi #p, q# con i #p# un divisore del termine costante #-15# e #q# un divisore del coefficiente #12# del termine principale.

Inoltre, si noti che il modello di segni di coefficienti di #f(x)# is #+ - + -# con i #3# segno cambia, mentre quelli di #f(-x)# sono nel modello #- - - -# con i #0# firmare modifiche. Quindi, secondo la Regola dei segni di Cartesio, #f(x)# ha #3# or #1# zero reale positivo e nessuno zero reale negativo.

Da qui l'unico possibile razionale gli zeri sono:

#1/12, 1/6, 1/4, 1/3, 5/12, 1/2, 3/4, 5/6, 1, 5/4, 3/2, 5/3, 5/2, 3, 5, 15#

Potremmo semplicemente provare ciascuno di questi a turno, ma se ci viene concesso, possiamo accelerare il processo di ricerca degli zeri come segue:

Guarda il derivato e scopri dove si trova #0#, indicando un massimo o un minimo locale ...

#f'(x) = 36x^2-88x+49#

#color(white)(f'(x)) = (6x-22/3)^2-484/9+49#

#color(white)(f'(x)) = (6x-22/3)^2-(sqrt(43)/3)^2#

#color(white)(f'(x)) = (6x-22/3-sqrt(43)/3)(6x-22/3+sqrt(43)/3)#

Quindi zero a #x = 1/6(22/3+-sqrt(43)/3) = 1/18(22+-sqrt(43))#

#sqrt(43) ~~ 6.5#

Quindi il massimo e il minimo locali sono approssimativamente a:

#1/18(22-6.5) = 31/36 ~~ 5/6# and #1/18(22+6.5) = 19/12 ~~ 3/2#

#f(5/6) = 20/9#

#f(3/2) = 0#

Hmmm - uno zero vicino a dove ci aspettiamo il minimo. Diamo un'occhiata all'altra possibilità razionale nelle vicinanze ...

#f(5/3) = 0#

So #x=3/2# e #x=5/3# sono zeri con fattori corrispondenti #(2x-3)# e #(3x-5)#.

Guardando il coefficiente del termine principale e del termine costante, il fattore rimanente (che deve essere razionale) deve essere #(2x-1)#

Così:

#12x^3-44x^2+49x-15 = (2x-3)(3x-5)(2x-1)#

graph{12x^3-44x^2+49x-15 [-0.448, 2.052, -1.26, 2.49]}