Il raggio di una sfera aumenta ad una velocità di 4 mm / s. Quanto velocemente aumenta il volume quando il diametro è di 40 mm?

utilizzando #r# per rappresentare il raggio e #t# per tempo, puoi scrivere la prima valutazione come:

#(dr)/(dt) = 4 "mm"/"s"#

or

#r = r(t) = 4t#

La formula per il volume di una sfera solida è:

#V = V(r) = 4/3pir^3#

Quando prendi la derivata di entrambe le parti rispetto al tempo ...

#(dV)/(dt) = 4/3pi(3r^2)((dr)/(dt))#

...ricorda il Regola di derivazione for Differenziazione implicita. Il formato generale per questo è:

#(dV(r))/(dt) = (dV(r))/(dr(t))*(dr(t))/(dt)#

with #V = V(r)# and #r = r(t)#.

Quindi, quando si prende la derivata del volume, è rispetto alla sua variabile #r# #((dV(r))/(dr(t)))#, ma vogliamo farlo rispetto a #t# #((dV(r))/(dt))#. Da #r = r(t)# e #r(t)# è implicitamente una funzione di #t#, per far funzionare l'uguaglianza, devi moltiplicare per la derivata della funzione #r(t)# rispetto a #t# #((dr(t))/(dt))#anche. In questo modo, stai prendendo un derivato lungo a catena di funzioni, per così dire (#V -> r -> t#).

Ora quello che puoi fare è semplicemente collegare cosa #r# è (nota che ti è stato dato il diametro) e cosa #(dr)/(dt)# è perché #(dV)/(dt)# descrive la velocità di variazione del volume nel tempo, di una sfera.

#(dV)/(dt) = 4/3pi(3(20 "mm")^2)(4 "mm"/"s")#

#= 6400pi "mm"^3/"s"#

Poiché il tempo aumenta e il raggio aumenta in funzione del tempo e il volume aumenta in funzione di una costante per il raggio al cubo, il volume aumenta più velocemente del raggio, quindi non possiamo semplicemente dire che le due velocità sono lo stesso.