Il volume di una sfera sta cambiando a una velocità costante di # pi / 3 cm ^ 3s ^ -1 #. In che misura cambia la superficie quando il volume è # (9pi) / 2 #?

Impostiamo le seguenti variabili:

# {(r, "Radius of sphere at time t","(cm)"), (A, "Surface area of sphere at time t", "(cm"^2")"), (V, "Volume of sphere at time t", "(cm"^3")"), (t, "time", "(sec)") :} #

Il nostro obiettivo è trovare #(dA)/dt# quando #V=(9pi)/2# e #(dV)/dt=pi/3#.

Le formule standard per Area e Volume di una sfera sono:

# V=4/3pir^3 .... [1] #
#A=4pir^2 .... [2] #

quando # V=(9pi)/2 => 4/3pir^3 =(9pi)/2 #

# :. r^3 =9/2*3/4 #
# :. r =3/2 #

Differenziando [1] e [2] wrt #r# noi abbiamo;

# (dV)/(dr)=4pir^2 # and # (dA)/(dr) = 8pir #

E dal regola di derivazione noi abbiamo:

# (dA)/dt =(dA)/(dr) * (dr)/(dV)* (dV)/(dt) #
# =8pir * 1/(4pir^2) * (dV)/(dt) #
# =2/r * (dV)/(dt) #

Così, quando #V=(9pi)/2#, #(dV)/dt=pi/3# e #r =3/2#, Allora:

# (dA)/dt =2/(3/2) * pi/3 #
# =(4pi)/9 #