Perché [math]e^{iπ/2} = i[/math]?

Come la maggior parte delle domande sul "perché" in matematica, questa è una questione di definizioni. L'esponenziazione, quando ne avete sentito parlare per la prima volta, è stata probabilmente definita come una moltiplicazione ripetuta.

[math]3^4 = 3 volte 3 ½ volte 3 ½ volte 3[/math]

Ad un certo punto, siete stati introdotti all'idea di esponenziazione negativa. Questo non ha davvero senso secondo la definizione originale, perché non si può moltiplicare qualcosa per se stesso un numero negativo di volte. Ma avete notato una proprietà interessante dell'esponenziazione, definita nel modo normale.

[math]3^3 = 3^4 \div 3[/math]
[math]3^2 = 3^3 \div 3[/math]
[math]3^1 = 3^2 \div 3[/math]

Se riesci a dimostrare che questa proprietà vale in tutti i casi in cui tu'hai definito l'esponenziazione (finora, con i numeri naturali come esponenti) allora puoi estendere la definizione di esponenziazione per lavorare in più casi.

[math]3^0 = 3^1 \div 3 = 1[/math]
[math]3^{-1} = 3^0 \div 3 = \tfrac{1}{3}[/math]
[math]3^{-2} = 3^{-1} \div 3 = \tfrac{1}{9}[/math]

Ora abbiamo una definizione di esponenziazione che funziona per tutti gli esponenti interi. Ma poi, ad un certo punto, siete stati introdotti all'idea degli esponenti frazionari. In un modo simile, avete preso una proprietà dell'esponenziazione come era già stata definita e l'avete usata per estendere la definizione.

[math]3^2 \times 3^2 = 3^{2+2}[/math]
[math]3^{-5} \3^{12} = 3^{-5+12}[/math]
[math]3^\frac{1}{2} \3^frac{1}{2} = 3^{frac{1}{2}+frac{1}{2} \freccia destra 3^\frac{1}{2} = \sqrt{3}[/math]

Non è necessariamente che ogni nuova estensione dell'esponenziazione rappresenti qualcosa come "cosa succederebbe se si moltiplicasse 3 per se stesso mezza volta" perché questo non ha davvero senso - non si può moltiplicare qualcosa mezza volta. Invece, abbiamo una nuova funzione che agisce allo stesso modo della vecchia in tutti i posti in cui la vecchia funziona, e funziona bene in molti posti in cui la vecchia non funzionava. Per comodità, ci limitiamo a sussumere la vecchia funzione nella nuova e chiamiamo il tutto esponenziazione.

La bella osservazione che ci permette di trattare gli esponenti immaginari richiede qualche altro macchinario per confermarla, ma forse l'avete già vista.

[matematica]e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots[/math]

A questo punto, siamo in grado di inserire qualcosa come [math]\tfrac{1}{2}i\pi[/math] e se lo fai ti ritrovi con [math]i[/math]- se stai attento!

Succede anche che l'esponenziazione ha una bella interpretazione geometrica: la rotazione sul piano complesso. Invece di usare l'espansione della serie di Taylor per estendere ai numeri immaginari, puoi usare questa proprietà di rotazione. Allo stesso modo, ci sono altre proprietà che avresti potuto scegliere in precedenza per estendere l'esponenziazione ai numeri negativi o alle frazioni. Sorprendentemente, tutte portano alla stessa funzione estesa!

In breve, l'esponenziazione immaginaria non ha "bisogno" di funzionare nel modo in cui funziona, e ci si può sentire liberi di definirla diversamente. Ma a causa di proprietà chiave, la nostra definizione è il modo in cui l'esponenziazione immaginaria "dovrebbe" funzionare, per essere coerente con ciò che sappiamo sull'esponenziazione.