C'è una sorta di analogo al test della linea verticale per le coordinate polari?

No, a meno che tu non restringa il tuo dominio a [0,2pi) e il tuo intervallo ai numeri positivi.

Se lo fai, invece delle linee verticali, disegna dei raggi dall'origine ad ogni angolo. Se uno di questi raggi interseca il grafico più di una volta, allora il grafico polare non è una funzione, perché per un dato valore di theta ci sono più valori di r.

La ragione per cui questo non funziona per un dominio esteso è che si possono avere angoli coterminali che sono tecnicamente input diversi e possono creare output diversi, facendo fallire questo test, anche se è una funzione.

La ragione per cui non si possono avere valori negativi di r è che questi possono interferire con angoli come pi e 3pi dove valori negativi di r su un angolo appariranno sul raggio a pi radianti di distanza.

Modifica:
La ragione per cui il test delle linee verticali funziona è che tutte quelle linee verticali hanno la forma x=__, nel caso del test polare, i raggi hanno tutti la forma theta=___

Per quanto riguarda il perché una relazione può essere una funzione in coordinate polari e non in coordinate rettangolari; mentre due relazioni possono tracciare la stessa posizione su un piano cartesiano, non significa che le relazioni siano le stesse. Una può essere una funzione mentre l'altra no.